1.2 模糊数学的创立

模糊性是信息不确定性的基本特征之一。

1.2.1 模糊概念

所谓“模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不分明。或者说，模糊性指的是事物性态或类属上的亦此亦彼性，对于是否属于某个类别的问题，不能做出非此即彼的明确结论。比如，我们说“天气热”，那么气温到底多少度才算“热”？显然，没有明确的界限，这种概念称为模糊概念。

（1）事物客观属性的模糊性

客观事物的发展是一个渐进的连续过程，其转变过程不存在明确的、突变的界限。如：白天和黑夜、少年和青年、春夏秋冬等都是渐进变化的连续过程，没有哪一刻是昼夜的分界线，也没有哪一天是四季的分水岭，更没有哪一夜少年突然长成青年。显然，模糊性是这类事物的属性，与这种变化过程相关的概念为模糊概念。

（2）自然语言的模糊性

人类对于客观事物的感觉和认识往往是连续的，但是用于表达的词句是离散的，用离散的词句去表达连续的事物，其边界必然是不分明的。如：“高”、“矮”、“胖”、“瘦”等表达感官的词句；“大”、“小”、“多”、“少”、“一堆”、“三点左右”等表达数量的词句；“很”、“差不多”、“稍微”、“非常”等表达程度的词句都难以用准确的数据说明，都是没有明确边界标准的模糊概念。

1.2.2 模糊数学的产生

在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象，并且随着现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。以精确性为主要特点的经典数学，对于这类问题是无能为力的。因此，必须寻找到一种描述和处理模糊性的数学方法。这就是模糊数学产生的必然性。

1965年，美国控制论专家、数学家L.A.Zadeh发表了论文《模糊集合》（Fuzzy sets），标志着模糊数学这门学科的诞生。模糊数学是研究模糊现象的定量处理方法。

现代数学建立在集合论的基础上。集合可以表示概念，符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理。经典集合论表示有明确外延的概念和事物，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的。

模糊性是指外延不分明的概念，用经典集合理论是无法描述的。模糊数学在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，提出用“模糊集合”描述模糊现象。“隶属函数”的概念将经典集合论里的特征函数取值范围从{0，1}推广到区间[0，1]，将经典的二值逻辑推广到多值逻辑。“隶属函数”是事物对模糊概念从属程度的描述，使模糊性可以用[0，1]上的区间来度量。

“模糊集合”这一开创性的成果解决了用数学语言描述外延不分明概念的难题，为模糊数学提供了基础，实现了采用精确的数学方法实现对模糊现象的表示、分析和处理。

随着科学的发展，研究对象越来越复杂，在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾。Zadeh教授提出的互克性原理对此亦有明确表述：“当系统的复杂性日益增长时，我们做出系统特性的精确而有意义的描述能力将相应降低，直至达到这样一个阈值，一旦超过它，精确性与有意义性将变成两个互相排斥的特性。”互克性原理揭示了片面追求精确性将降低认识结果的实质，显然精确模型不是处理复杂事物的有效手段。因此，不确定性信息的研究对于科学技术乃至社会进步都是有巨大作用的。模糊数学在保持数学严格性的同时，吸取了人脑对于模糊现象认识和推理的优点，从某种意义上来说，模糊数学是架在形式化思维和复杂系统之间的一座桥梁。

模糊数学诞生于计算机时代，人脑具有理解、判断和处理模糊信息的能力，但计算机没有识别模糊现象的能力。为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活地做出相应的判断，从而提高自动识别和处理模糊现象的效率。模糊数学为计算机处理模糊信息提供了基础，因此，模糊数学不仅是一种理论，也是一种工具。

正如所有理论的发展过程一样，模糊数学在其应用中得以迅速发展，目前已经形成了多个理论研究分支。同时，模糊数学已经广泛应用于控制工程、模式识别、聚类分析、系统决策、机器智能以及信息处理等领域。