3.5 理想光学系统的组合

一个光学系统可由一个或几个部件组成，每个部件可以由一个或几个透镜组成，这些部件被称为光组。光组可以单独看做一个理想光学系统，在光学系统的应用中，有时将两个或两个以上的光组组合在一起使用。本节讨论两个光组或多个光组组成的理想光学系统的求像。

3.5.1 图解法求像

对于多个光组的图解法求像，其求解过程与单个光组相似，需要注意的是，前一光组的像就是后一光组的物。按照这一思路，利用追踪典型光线的方法逐个光组图解法求像，最后得到的像就是多个光组所成的像。

3.5.2 解析法求像

第一种方法是逐个光组计算法，最后求出像的位置及成像性质；第二种方法是等效光学系统法；第三种方法就是正切计算法。

1．逐个光组计算法

该方法就是从第一个光组开始对每个光组利用牛顿公式或高斯公式，前一光组所成的像就是后一光组的物，所以，该方法需要确定出相邻两光组之间的过渡公式。每个光组的焦距和焦点、主点位置以及光组间的相互位置均为已知。

图3.25所示为两个光组的情况，物点A1被第一光组成像于A′1，它就是第二个光组的物A2。两光组的相互位置以距离H′1H2用d1来表示。由图可见有如下的过渡关系：

l2＝l′1－d1

x2＝x′1－Δ1

上式中，Δ1为第一光组的像方焦点F′1到第二光组物方焦点F2的距离，即Δ1＝F′1F2，称为光学间隔。它以前一个光组的像方焦点为原点来决定其正负，若它到下一个光组物方焦点的方向与光线的方向一致，则为正；反之，则为负。由图可知光学间隔与主面间隔之间的关系为

Δ1＝d1－f′1+f2

若光学系统由若干个光组组成，则推广到一般的过渡公式和两个间隔间的关系为

这里k是光组序号。

由于前一个光组的像是下一个光组的物，若光学系统由k个光组组成，则有y2＝y′1, y3＝y′2, …, yk＝y′k－1，所以整个系统的放大率β等于各光组放大率的乘积：

2．等效光学系统法

该方法是将两个光组等效成一个光组，求出等效光学系统的焦距，确定出等效光学系统的焦点位置和主点位置，然后再利用高斯公式或牛顿公式求像。主要适用于两个光组的组合，如果是多个光组，需要多次等效，直至最后等效成一个光组。所以，多个光组的计算用该方法比较麻烦，需要用到第三种正切计算法。

假定两个已知光学系统的焦距分别为f1、f′1和f2、f′2，如图3.26所示。两个光学系统间的相对位置用第一个系统的像方焦点F′1距第二个系统的物方焦点F2的距离Δ表示，称为光学间隔，Δ的符号规则是以F′1为起算原点，计算到F2，顺光路方向为正。分别用f、f′表示组合系统的物方焦距和像方焦距，用F、F′表示组合系统的物方焦点和像方焦点。

首先求像方焦点F′的位置，根据焦点的性质，平行于光轴入射的光线，通过第一个系统后，一定通过F′1，然后再通过第二个光学系统，其出射光线与光轴的交点就是组合系统像方焦点F′。对第二个系统，F′1和F′是一对共轭点。应用牛顿公式有

这里x′F的起算原点是F′2。由该式可求得系统像方焦点F′的位置。

至于物方焦点F的位置，据定义经过F点的光线通过整个系统后一定平行于光轴，所以它通过第一个系统后一定经过F2点，对第一个系统，F2和F是一对共轭点，利用牛顿公式有

这里xF的起算原点是F1。利用此式可求得系统的物方焦点F的位置。

焦点位置确定后，只要求出焦距，主平面位置随之也就确定了。由前述的定义知，平行于光轴的入射光线和出射光线的延长线的交点M′，一定位于像方主平面上。由图3.26所示可知△M′F′H′∽△I′2H′2F′, △I2H2F′1∽△I′1H′1F′1，得

对应图中的标注得，将代入上式，简化后，得

再根据物方焦距和像方焦距间的关系可得

光学间隔Δ可由两主平面之间的距离d表示。d的符号规则是以第一系统的像方主点H′1为起算原点，计算到第二个系统的物方主点H2，顺光路为正。由图3.26所示得

下面推导由高斯物距和像距表示的焦点和主点的位置。

由图3.26所示可得

l′F＝f′2+x′F

lF＝f1+xF

将式（3-26）中的x′F代入上述前一个公式，可得

又由Δ＝d－f′1－f′2得

同理可得

由图3.26所示，并利用上述二式可得主平面位置

知道了焦点及主点位置后就可确定物距和像距，然后利用高斯公式或牛顿公式求像。

3．正切计算法

当多于两个的光组组合成一个系统时，再沿用前述两个光组的合成方法，则过程繁杂，且容易出错，所得公式将很复杂。这里介绍一个基于计算来求组合系统的方法。

为求出组合系统的焦距，可以追迹一条投射高度为h1的平行于光轴的光线。只要计算出最后的出射光线与光轴的夹角（称为孔径角）U′k，则

这里下角标k表示该系统中的光组数目；投射高度h1是入射光线在第一个光组主面上的投射高度，如图3.27所示。

对任意一个单独的光组来说，将高斯公式（3-7）两边同乘以共轭点的光线在其上的投射高度h有

因有，所以，对任一光组有

利用lk＝l′k－1－d k－1和ta n U′k－1＝ta n U k，容易得到同一条计算光线在相邻两个光组上的投射高度之间的关系为

已知h1，且U1＝0，然后利用式（3-36）和式（3-37）逐个光组计算，最后求得tanU′k，进而求得多光组系统的焦距f′。

假设有三个光组的组合系统，任取h1，并令tanU1＝0，则有

像方焦距，像方焦点的位置，像方主点的位置l′H＝l′F－f′。若求物方焦点及物方主点的位置，只要做逆光路计算，将求得的结果反号就是像方参数。

3.5.3 理想光学系统的光焦度

像方焦距的倒数称为光学系统的光焦度，用Φ表示。

因为

所以

当两个系统位于同一种介质（如空气）中时，f′2＝－f2，故有

即

当两个光学系统主平面间的距离d为零，即在密接薄镜组的情况下，有

密接薄透镜组总光焦度是两个薄透镜光焦度之和。

3.5.4 举例

例3.5 图3.28所示，L1为凸透镜，L2为凹透镜，焦距都为10cm, L2在L1右方35cm处，L1左方20cm处放一物，求主面位置及像。（L1, L2均为薄透镜）

解 对L1，有f1＝－10cm, f′1＝10cm；

对L2，有f2＝10cm, f′2＝－10cm。

因为

d＝35c m

所以

由高斯公式

代入数值得

解得

l′＝4c m

所以，像位于L2左侧6cm处。

总的垂轴放大率为

所以，成倒立缩小像。

例3.6 一光组由两个薄光组组合而成，如图3.29所示。第一个薄光组的焦距f′1＝500mm，第二个薄光组的焦距f′2＝－400mm。两光组的间隔d＝300mm。求组合光组的焦距f′，组合光组的像方主面位置H′及像方焦点的位置l′F。

解 利用正切计算法，设h1＝100mm，有

所以

f′＝h1/tanU′2＝1000mm

l′F＝h2/tanU′2＝400mm

l′H＝l′F－f′＝－600mm

像方主面位置H′在第一个光组左方300mm的地方。