第五届全国大学生数学竞赛预赛（2013年非数学类）

试题

一、解答下列各题（本题共4个小题，每题6分，共24分）

1．求极限.

2．证明广义积分不是绝对收敛的．

3．设函数y=y（x）由x3+3x2y-2y3=2所确定，求y（x）的极值．

4．过曲线上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为，求A点的坐标．

二、（12分）计算定积分.

三、（12分）设f（x）在x=0处存在二阶导数f″（0），且，证明：级数收敛．

四、（10分）设｜f（x）｜≤π，f′（x）≥m＞0（a≤x≤b）．证明.

五、（14分）设Σ是一个光滑封闭曲面，方向朝外．给定第二型的曲面积分

试确定曲面Σ，使得积分I的值最小，并求该最小值．

六、（14分）设，其中a为常数，曲线C为椭圆x2+xy+y2=r2，取正向．求极限.

七、（14分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和．

参考答案

一、1．解　因为.

2．证　记，只要证明发散．因为

而发散，故发散．

3．解　方程两边对x求导，得

3x2+6xy+3x2y′-6y2y′=0，

故，令y′=0，得x（x+2y）=0⇒x=0或x=-2y.

将x=0和x=-2y代入所给方程，得

又

故y（0）=-1为极大值，y（-2）=1为极小值．

4．解　设切点A的坐标为，曲线过A点的切线方程为

令y=0，由上式可得切线与x轴交点B的横坐标x0=-2t．设A在x轴上的投影点为C．如题4图所示平面图形△ABC的面积-曲边梯形OCA的面积

故A的坐标为（1，1）.

二、解

三、证　由于f（x）在x=0处连续，且，则

应用洛必达法则，得

所以

由于级数收敛，从而收敛．

四、证　解法1　因为f′（x）≥m＞0（a≤x≤b），所以f（x）在［a，b］上严格单增，从而有反函数．

设A=f（a），B=f（b），φ是f的反函数，则

又f（x）≤π，则-π≤A＜B≤π，所以

解法2

五、解　记Σ围成的立体为V，由高斯公式，

为了使I达到最小，就要求V是使得x2+2y2+3z2-1≤0的最大空间区域，即

V=｛（x，y，z）｜x2+2y2+3z2≤1｝.

所以V是一个椭球，Σ是椭球V的表面时，积分I最小．

为求该最小值，作变换

则，有

使用球坐标变换，得

六、解　作变换

曲线C变为uOv平面上的曲线，也是取正向，且有x2+y2=u2+v2，ydx-xdy=vdu-udv，

作变换

则有，

其中.

因此当a＞1和a＜1时，所求极限分别为0和+∞.

而当a=1时，

故所求极限为

七、解　（1）记．因为n充分大时，

所以，而收敛，所以收敛．

因为0＜an＜1+lnn，所以且.故.于是.