1.4 单片机中的数制与码制

1.4.1 数制及其转换

常用的表达整数的数制有二进制数、十进制数、十六进制数3种，其中计算机处理的一切信号都是由二进制数表示的；人们日常用的是十进制数；十六进制数则用来缩写二进制数。3种数制之间可以相互转换。它们之间的关系见表1-2。为了区别十进制数、二进制数及十六进制数3种数制，在数的后面加一个字母以进行区别。用B表示二进制数；用D或不带字母表示十进制数；用H表示十六进制数。

1.二进制数和十进制数之间的相互转换

二进制转换成十进制，可采用展开求和法。即将二进制数按权展开再相加。

例如：

十进制转换成二进制可采用除2取余法。即用2不断地去除待转换的十进制数，直至商等于0为止，再将所得的各次余数依次倒序排列。

即43D=101011B。

2.二进制数和十六进制数之间的相互转换

二进制数转换为十六进制数，只需将二进制数从右向左每4位为一组分组，最后一组若不足4位，则在其左边添加0，以凑成4位，每组按表1-2用1位十六进制数表示。

例如：10011100100B→0100 1110 0100B=4E4H

十六进制数转换为二进制数，只需按表1-2用4位二进制数表示1位十六进制数。

例如：8DF3H=1000 1101 1111 0011B

1.4.2 有符号数的表示

数值在计算机中表示形式为机器数，由于计算机只能识别0和1，因此我们用来表示数值正负的“+”和“-”在计算机中也只能用“0”和“1”表示。一般在计算机中，对于正数，最高位规定为“0”；对于负数，最高位规定为“1”。

例如：

有符号数在计算机中有原码、反码和补码3种表示方法。

1.原码

用最高位表示数的正负，其余各位表示数的绝对值，这种表示方法称为原码表示法。

例如：

如果计算机的数据宽度为8，即字长为1字节，则原码能表示数值的范围为FFH～7FH（-127～-0,+0～+127），共256个。原码表示“0”时，可以有两种数值，即00000000B（+0）和10000000B（-0），这将会造成混乱，导致计算出错。

在计算机进行数值运算时一般不采用原码运算。

例如：在计算1-1=0时，为了简化计算机的硬件结构，把减法运算转换为加法运算，即采用1+（-1）去计算，会发现[1]原码+[-1]原码=00000001B+10000001B=10000010B=-2，即计算出错。

2.反码

正数的反码与原码相同；负数的反码为其原码的符号位不变，数值部分按位取反。

例如：[+5]反码=[+5]原码=00000101B=05H

[-5]反码=11111010B=FAH

如果计算机的数据宽度为8，即字长为1字节，则反码能表示数值的范围为80H～7FH（-127～-0,+0～+127），共256个。反码表示“0”时，可以有两种数值，即00000000B（+0）和11111111B（-0）两种数值。在数值运算中也易出错。

3.补码

正数的补码与原码相同；负数的补码为其反码加1，但符号位不变。

例如：[+5]补码=[+5]反码=[+5]原码=00000101B=05H

[-5]补码=[-5]反码+1=11111010B+1=11111011B=FBH

[+0]补码=[+0]原码=[+0]反码=00000000B=00H

在求-0的补码时，我们会发现[-0]原码=10000000B,[-0]反码=11111111B，加1后得100000000B，最高位产生了溢出，为了符合补码的定义和运算规则，将10000000B（80H）的补码真值定义为-128。也就是说，用补码表示“0”时，只有一种数值，即00000000B（+0）。补码的表示范围为80H～7FH（-128～+127），共256个。80H（10000000B）在计算机中表示最小的负整数，即-128,10000001～11111111依次表示-127～-1。在减法运算时，运用补码可以把减法运算转换为加法运算，运算结果是完全正确的。请读者熟记-128的补码是80H,0的补码是00H。

例如：计算1-1=0，用补码计算：（结果超过8位，最高位的“1”自然丢失），结果正确。

求负数的补码也可以用“模”来计算：[X]补码=模+X

“模”是计数系统的过程量回零值。如时钟以12为模，时钟从某一位置拨到另一位置总有两种拨法，即顺拨和逆拨。例如从6点拨到5点，可以逆拨，即6−1=5；也可以顺拨，即6+11=12（自动丢失）+5=5。这里11就是-1的补码，也就是说，运用补码可以把减法运算转化为加法运算。

计算机中8位二进制数的模为28=256=100H。例如[-5]补码=模+（-5）=100H-05H=FBH。

综上所述，可得出以下几个结论。

① 在计算机中，带符号数都是以补码的形式储存的，学习原码和反码的目的是为了更好地理解补码。

② 补码表示法能使符号位与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则。

③ 补码表示法能使减法运算转换为加法运算，简化计算机的硬件结构。

1.4.3 十进制数的编码——BCD码

人们在生活中习惯于使用十进制数，而计算机只能识别二进制数，为了让十进制数能被计算机识别，产生了BCD码（Binary Coded Decimal Code），即用二进制代码表示十进制数。例如计算器就采用 BCD 编码运算。这种编码的特点是保留十进制的权，数字则用二进制表示。即仍然是逢十进一，但又是一组二进制代码。

1.编码方法

BCD码有多种表示方法，最常用的BCD码为8421码，编码方式见表1-3。每4位二进制数表示一个十进制字符，这4位中各位的权依次是8、4、2、1，因此称为8421BCD码。

2.BCD码的运算

由于4位二进制数最多可以表示16种状态，余下的6种未用码（1010、1011、1100、1101、1110、1111），在BCD码中称为非法码或冗余码。从表1-3中可以看出，1位十进制数是逢十进位（借位）的，而4位二进制数是逢十六进位（借位）的，当计算结果有非法码或 BCD 码产生进位（借位）时，加法进行加6修正，减法进行减6修正。

例如：计算26+5=31，若用BCD码运算

需进行十进制修正

例如：计算27–9=18，若用BCD码运算

需进行十进制修正

需要指出的是，BCD码属于无符号数，其减法若出现被减数小于减数时，需向更高位借位，运算结果与十进制数不同。例如，十进制数：29−30=−1（有符号）;BCD码：29−30=129−30=99（无符号）。

在单片机中，由专门的BCD码调整指令DA来完成BCD码的修正。

1.4.4 ASCII码

由于计算机只能处理二进制数，因此除了数值本身需要用二进制数形式表示外，另一些要处理的信息（如字母、标点符号、数字符号、文字符号等）也必须用二进制数表示，即在计算机中需将这些信息代码化，以便于计算机识别、存储及处理。

目前，在微机系统中，世界各国普遍采用美国信息交换标准码——ASCII码（American Standard Code for Information Interchange），见表1-4，用7位二进制数表示一个字符的ASCII码值。

由表1-4可知，7位二进制数能表达27=128个字符，其中包括数码（0～9）、英文大写字母（A～Z）、英文小写字母（a～z）、特殊符号（!,?,@,#等）和控制字（NUL,BS,CR,SUB等）。7位ASCII码分成两组：高3位一组，低4位一组，分别表示这些符号的列序和行序。

在计算机系统中，存储单元的长度通常为8位二进制数，为了存取方便，规定一个存储单元存放一个ASCII码，其中低7位为字母本身的编码，第8位往往用作奇偶校验位或规定为零。因此，也可以认为ASCII码的长度为8位。