1.9　引来杀身之祸的无理数

公元前585年到公元前400年，是古希腊毕达哥拉斯学派的鼎盛时期。在数学发展史上，毕达哥拉斯学派功不可没，是他们在欧洲最先发现了勾股定理，是他们最早接触了黄金分割点……

无理数的发现者希帕索斯是一个深受毕达哥拉斯器重的学派成员。由于勾股定理的发现使毕达哥拉斯学派声名远扬，毕达哥拉斯决定弄清楚勾、股、弦数到底是什么样的。于是他交给希帕索斯一个筛选满足条件的勾、股、弦数三元数组的任务。就是这个任务，使希帕索斯在数学史上名垂千古，同时也使他惹上杀身之祸……

毕达哥拉斯学派一向主张“万物皆数”，意思就是说“宇宙中的一切都可以表示成整数与整数之比，除此之外，没有别的东西”。这种认识在现在看来近乎荒诞，可是在各方面知识都不发达的当时，科学界都认同这个观点。希帕索斯开始也并不怀疑这一点。

可是，随着确定三元数组工作的深入，希帕索斯碰到了求正方形对角线的问题：假设一个正方形边长为1，那么它的对角线长为多少？根据毕达哥拉斯学派“万物皆数”的主张，这条对角线也一定可以用整数与整数之比来表示。如果设这个数为d，根据勾股定理有d²=1²+1²=2，那么d=，又能表示成哪两个整数之比呢？

爱寻根究底的希帕索斯花了很多时间来寻找这两个整数。结果，整数没有找着，反而让希帕索斯利用毕达哥拉斯学派常用的一种方法——归谬法，证明了无法表示成两个整数之比。那么到底是什么东西呢？难道除了整数与整数之外还会有别的数吗？希帕索斯丝毫没有意识到自己的发现在数学史上的伟大，他带着自己的证明过程登门向毕达哥拉斯请教。他将自己在求对角线时碰到的这件怪事原原本本地告诉了毕达哥拉斯，并询问该如何解决。

毕达哥拉斯

毕达哥拉斯听了这事也很吃惊。于是希帕索斯将自己的证明恭敬地递了上去：设一个正方形边长为1，对角线长为。如果是两个整数之比，则不妨设=α∶β=α/β，其中α、β是两个互素的整数。根据直角三角形勾股定理得=1²+1²，即（α/β）²=2，化简得α²=2β²；可见α²是偶数，因此α一定是偶数；从假设知α、β互素，所以β一定是奇数；又因为α是偶数，故可设α=2γ，则α²=4γ²；由于α²=2β²，则2β²=4γ²，β²=2γ²，所以β也是偶数，这与“β是奇数”矛盾，故不能表示成两个整数之比。

看完证明过程，毕达哥拉斯恐慌了。如果不承认这个证明正确，他看不出证明中有什么不正确的地方；可是如果承认这个证明正确，那就等于承认了毕达哥拉斯以前宣称的“万物皆数”观点的错误，这不是自己拆自己的台吗？况且如果事情传开，也会动摇毕达哥拉斯学派的根基，自己多少年的心血就白费了。思忖了半天，毕达哥拉斯决定维护毕达哥拉斯学派的信条，他采取了不承认的态度，并命令希帕索斯保密，不要把事情说出去，他还在学派内部宣布，谁泄密就活埋谁！

希帕索斯是一个很有思想、敢于坚持真理的人，他并没有放弃对的探求，而且一有机会他就宣传的客观存在性。这种违背命令的做法，使得毕达哥拉斯学派欲杀之而后快。希帕索斯知道自己要被处死的消息后，连忙跳上一艘刚起航的海船准备逃走。不过在毕达哥拉斯学派的忠诚护卫者的严密追捕下，他被扔进了大海，最终没有逃脱死亡的命运。

这就是无理数充满着血与泪的发现过程。但是无理数毕竟是存在的，为此人们采取了两种方法来确认它的存在：一种是不认为是数，仅仅能用一条线段来表示它，这可以说是一种几何的观点；另一种是把它当作通常的数来处理，也就是承认它与整数和整数之比有着相同的地位，这也可以说是一种代数的观点。

古希腊人选择了第一种方法，中国人和印度人则采取了后一种方法。中国人和印度人在对待无理数时，没有希腊人那样拘谨，他们把主要兴趣放在了计算上，从而忽视了各个概念之间的本质区别。实际上，在古巴比伦泥板关于的记载上，无理数不仅是不尽根，而且揭示无理数的本质对建立实数理论有着重要的意义。

西方数学史上最早接受无理数的代数学者是英国的哈里奥特，他认为只要能参与计算的就是数，而不必管它到底该怎样表示。19世纪人们才真正解决了无理数的逻辑结构。1886年，施图尔茨认为，每一个无理数都可以表示成无限不循环小数，这也就是我们现在通用的无理数的定义。后来又经过了19世纪的许多数学家的努力，人们终于为无理数打下了坚实的逻辑基础，使无理数在数学上得到了应有的地位。

“人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。”希帕索斯的死就重于泰山。他为献出了年轻的生命，数学因此又前进了一大步。人们将永远怀念这位无理数的发现者。