6.3.1　利用SGD来求解矩阵分解

假设用户u对标的物v的评分为r_uv，u、v嵌入k维隐因子空间的向量分别为p_u、q_v，我们定义真实评分和预测评分的误差为e_uv，公式如下：

式（6-1）对应的最优化问题的目标函数如下：

f(p_u,q_v)对p_u,q_v求偏导数，具体计算如下：

有了偏导数，再沿着导数（梯度）相反的方向更新p_u、q_v，最终我们可以采用如下公式来更新p_u、q_v。

上式中为步长超参数，也称为学习率（导数前面的系数2可以吸收到参数中），取大于零的较小值。p_u、q_v先可以随机取值，通过上述公式不断更新p_u、q_v，直到收敛到最小值（一般是局部最小值），最终求得所有的p_u、q_v。

SGD方法一般可以快速收敛，但是对于海量数据，单机无法承载这么大的数据量，所以在单机上是无法或者在较短的时间内无法完成上述迭代计算的，这时可以采用ALS方法来求解，该方法可以非常容易地进行分布式拓展。