2.3 平面任意力系向一点简化

组成力系的各力作用线共面，各力作用线既不交于一点，也不完全平行，这种力系称为平面任意力系。这种力系在工程中最为常见，研究平面任意力系的简化和平衡问题，在实际应用方面有重要的价值。

力系的主矢和主矩 刚体上作用有n个力F₁、F₂、…、F_n组成的平面任意力系，如图2.15（a）所示。力系中各力的矢量首尾相接，可得力矢多边形，由多边形起点向末点

图2.15

所作矢量F′_R称为该力系的主矢，如图2.15（d）所示。力系的主矢F′_R等于力系中各力的矢量和（几何和）。即

F′_R=F₁+F₂+…+F_n=ΣF_i

（2.12）

由合矢量投影定理可得力系的主矢在平面直角坐标系中的投影为

F′_Rx=ΣF_xi

F′_Ry=ΣF_y ㊣

㊣i㊣

（2.13）

力系主矢的大小和方向为

F′_R=㊣（ΣF_xi）²+（ΣF_yi）² tanα=|ΣF_yi|

㊣

㊣

（2.14）

|ΣF_xi

|㊣

式（2.14）中α为主矢方向与x轴所夹锐角，主矢指向由ΣF_xi、ΣF_yi的正负号判定。

力系中各力对作用平面内某一点O取矩的代数和称力系对该点的主矩M_O，即

M_O=M_O（F₁）+M_O（F₂）+…+M_O（F_n）=ΣM_O（F_i）

（2.15）

显然，力系的主矩一般与对应的矩心O有关。故必须指明力系是对哪一点的主矩。而力系的主矢，只与组成力系的各力矢量有关，力系的主矢反映了力系对刚体的平移效应，力系的主矢就像一个力的力矢一样；力系对某点的主矩，反映了力系对刚体绕这点的转动效应，力系的主矩就像一个力对某点的力矩一样。

平面任意力系向作用面内一点简化 平面任意力系如图2.15（a）所示。在平面内任取一点O，称为简化中心。应用力的平移定理，把各力都平移到点O。这样，就得到作用于点O的平面汇交力系F′₁、F′₂、…、F′_n；以及相应的平面附加力偶系，其矩分别为M₁、

M₂、…、M_n，即

M_i=M_O（F_i）（i=1，2，…，n）

这样，平面任意力系等效为一个平面汇交力系和一个平面力偶系，如图2.15（b）所示。平面汇交力系可合成为作用线通过简化点O的一个力F′_RO，如图2.15（c）所示。其矢量为

F′_RO=F′₁+F′₂+…+F′_n=ΣF′_i

上式与式（2.12）比较可得：平面汇交力系的合力矢F′_RO等于原力系的主矢F′_R，即

F′_RO=F′_R

平面力偶系可合成一个力偶，如图2.15（c）所示，其力偶矩为

M=M₁+M₂+…+M_n=ΣM_O（F_i）

上式与式（2.15）比较可得：平面力偶系的合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩

M_O，即

M=M_O

综上所述，在一般情况下，平面任意力系向作用面内任选一点O简化可得一个作用线通过简化中心点O的一个力F′_RO和作用于平面内的一个力偶M。这个力F′_RO的矢量等于力系的主矢F′_R，这个力偶的矩M等于原力系对简化中心点O的主矩M_O。应当注意，一

般情况下向点O简化所得的力和力偶，并不是原力系的合力或合力偶，它们中的任何一个都不与原力系等效。

图2.16（a）表示一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约束称固定端支座。应用平面任意力系的简化理论，对平面固定端支座约束力系进行简化分析。固定端支座对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力，在平面问题中，这些力为一个平面任意力系，如图2.16（b）所示。将这群力向作用平面内A点简化，得到一个力和一个力偶，如图2.16（c）所示。一般情况下，这个力的大小和方向均为未知，可用两个正交分力来代替。因此，在平面力系情况下，固定端支座的约束力可简化为两个正交约束力F_Ax、F_Ay和一个约束力偶M_A，如图2.16（d）所示。固定端支座的工程结构简图为2.16（e）所示。

图2.16

平面任意力系的等效结果 我们可以根据力系的主矢F′_R和对某一点的主矩M_O这两个反映力系外效应的特征量，判定力系的等效结果。

若力系的主矢F′_R≠0，力系必与一个力等效，合力的力矢等于力系的主矢，但合力的作用点有两种情况：当主矩M_O=0时，合力作用线过简化中心点O；当主矩M_O≠0时，将作用于简化中心的力平移距离d得力系的合力（平移力时的附加力偶矩与力系的主矩大小相等转向相反，平移距离为d=|FM′OR|），即力系与距简化中心距离d的一个力等效。

若力系的主矢F′_R=0，主矩M_O≠0，显然力系与一个力偶等效。这时力系的主矩与简化中心无关，因为力偶对平面内任一点的矩相同，即力系本质就是一个力偶，只不过表现形式不同。

若力系的主矢F′_R=0，主矩M_O=0，则力系是平衡力系。【例2.6】求图2.17（a）所示三角形分布荷载的等效结果。

解：若力分布于物体的表面上或体积内的每一点，则称此力系为分布力。如屋面上的风压力，水坝受到的静水压力以及梁的自重等。在进行计算时，将杆件用其轴线表示，把所有力都简化作用在轴线上，力沿轴线分布。如梁所受的重力则简化为沿梁的长度分布且垂直于梁轴线，则称此荷载为线分布荷载。每单位长度上所受的力称为荷载集度，并以q

图2.17

表示，其单位为N/m。表示q分布范围及大小变化的图，称为分布荷载图。

（1）计算力系的主矢。选取坐标系如图2.17（a）所示，微段长度dx上的荷载为dF

=q（x）dx；因为q（x）=qlAx，则有dF=qlAxdx。主矢在两轴上的投影分别为

F′_Rx=0

F′_Ry=-∫l0dF=-∫l0qlAxdx=-12q_Al

主矢的大小为

F′_R=㊣F′²_Rx+F′²_Ry=12q_Al

主矢的方向竖直向下。

（2）计算力系对点o的主矩。选取o为简化中心，因为：dM=-xdF=-xqlAxdx，

所以有

M₀=∫_MdM=∫l0-xqlAxdx=-q_A3l²

（3）力系的等效结果。因为F′_R≠0，M_O≠0，所以力系可简化为一个合力F_R ，合力的大小为

F_R=F′_R=12q_Al

①

合力作用线距简化中心距离为

d=|FM′OR|=23l

②

简化结果如图2.17（b）所示。

应注意到，式①中的合力大小恰为三角形分布荷载图的面积；式②中d恰为该荷载图的形心横坐标。同理，可得一般线分布荷载的简化结果如下：一个线分布荷载可简化为一个合力，此荷载合力的大小等于该荷载图的面积，其作用线必通过荷载图的形心，指向与分布荷载指向一致。

思考题

2.11 图示的铰车臂互成120°，三臂上作用的力F都垂直于铰车臂，力的大小均相等，且OA=OB=OC。试分析此三力向铰盘中心点O的简化结果。

思考题2.11图

思考题2.12图

2.12 图示为一挡土墙，墙体重为F_G，墙背受有土压力F₁和F₂，下部有地基向上的支持力和水平向的摩擦力，这些力组成了一个力系。试分析这个力系可能使挡土墙产生几种运动状态?

2.13 力偶可在作用面内任意移转，那为什么又说主矩一般与简化中心有关呢?这里是不是自相矛盾?

2.14 设平面一般力系向一点简化得到一个合力，如果适当地选取另一点为简化中心，问力系能否简化为一个力偶?

2.15 有一根3m长的竹竿，截面直径从较细的一端开始向另一端均匀变化。试问大约将此杆扛在距细端多远处，此杆能保持平衡状态?为什么?

习题

2.14 已知图示F₁=2kN，F₂=4kN，F₃=10kN。三力分别作用在边长为a=10cm

的正方形的C、B、O三点上，求三力向点O简化的结果。

习题2.14图

习题2.15图

2.15 在图示等边三角形的A、B、C三点上，分别作用有大小相等的三个力F₁、F₂、F₃。各个力的方向如图所示，试求三力的合成结果。设三角形的边长为a。

2.16 已知图示各个力的大小为：F₁=150N、F₂=200N、F₃=300N、F=F′=

200N，各个力的方向如图所示，力F与F′的作用线平行。求此力系向点O简化结果，试求力系的合力大小及距原点O的距离d。

习题2.16图

习题2.17图

2.17 某厂房边柱高9m，柱上段BC重F_G1=8kN，下段CO重F_G2=37kN，柱顶水

平力F=6kN。试将这个主动力系向柱底中心点O简化。

2.18 图示为重力坝受力情况，坝的自重分别为F_G1=9600kN，F_G2=21600kN，水

压力F=10120kN。试将各力向坝底点O简化，试求力系的合力大小、方向和作用线位置。

习题2.18图

习题2.19图

2.19 图示为钢筋混凝土构件，已知各部分的重量为F_G1=2kN，F_G2=F_G4=4kN，F_G3=8kN。试求这些重力的合力。