二重积分计算法教学设计
贾屹峰
中国劳动关系学院
作品标题：二重积分计算法教学设计
所属课程：高等数学
相关知识点：Y型积分域上化二重积分为二次积分
参考文献：同济大学数学系.高等数学（下册）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.
一、教学背景
在X型区域或Y型区域上，将二重积分化为二次积分，并得到二重积分在直角坐标下的计算公式，是二重积分计算的基础。二重积分计算公式的推导过程，是根据二重积分的几何意义，利用平行截面面积已知立体体积实现的。
二、教学目标
使学生掌握Y型区域二重积分的计算公式，着重理解计算积分次序的重要性和x的积分上下限是关于y的函数，并能够根据Y型区域的特点，确定二次积分的上下限，为后续二重积分的计算和交换积分次序的学习打下基础。
三、教学内容与重点、难点分析
对二重积分化为二次积分，传统的讲法是先讲X型区域的二重积分，再讲Y型积分域上的二重积分，因此坐标系的画法不是常见的形式，而且由于遮挡，空间图形不是很直观，导致部分学生理解比较困难。另外，让学生认识到平行截面是曲边梯形也是一个难点。
四、教学过程
1.定积分的计算和几何意义
2.Y型区域
（1）Y型区域的构成。
（2）Y型区域的特点：过区域内任意一点，作一条平行于x轴的直线，它与区域的边界最多只有两个交点（见图1）。
（3）Y型区域的集合表示：
图1 Y型区域特点示意
3.曲顶柱体的体积（设在区域D上有
≥0）
（1）二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积为
（2）用切片面包演示计算过程：利用平行截面面积已知立体的体积，计算曲顶柱体的体积，平行截面面积已知立体的体积公式为
（1）
式中，A(y)是截面面积。面包切片相当于利用平行截面截曲顶柱体（见图2）。
图2 切片面包演示
通过面包片的形状，可以直观地观察到平行截面是曲边梯形（见图3）。
图3 平行截面是曲边梯形
（3）确定曲边梯形曲边的方程和积分的上下限。
用任意垂平面y=yi截曲顶柱体得曲边梯形ABEF（见图4），曲边EF是曲面z=f(x,y)与平面y=yi的交线，则曲边方程为
积分上下限是平面与y=yi区域D边界的交点，则有：
因此曲边梯形的面积为
将上式代入式（1）可得曲顶柱体的体积为
图4 曲顶柱体体积计算示意
4.取消
在区域D上的符号限制
在区域D上，f1(x,y)≥0，f2(x,y)≥0，因此有：
在区域D上，对任意的函数f(x,y)，只要在D上可积，就有：
（2）
式（2）是累次积分，是Y型区域上二重积分的计算公式。
注：式（2）是累次积分，不是两个单积分的乘积。积分次序为先对x积分，再对y积分。
x的积分上下限是关于y的函数。
五、教学总结
在教学过程中，为了避免画图时遮挡，先讲Y型区域上二重积分化为二次积分的方法，使学生对此有直观了解，同时此过程采用常用的坐标系，学生更容易接受。在此基础上，通过引入切片面包实例，学生认识到曲顶柱体在现实生活中是存在的，而且可以直接通过观察，体会到如何利用二重积分计算曲顶柱体的体积，以及直观地看到平行截面是曲边梯形，从而把抽象的内容直观化，进而使学生认识到数学在实际生活和生产实践中的广泛应用，从而激发学生的学习兴趣。