第三节 传感器的动态特性
一、研究传感器动态特性的方法
动态特性是指传感器对随时间变化的输入量的响应特性。在实际应用中，传感器所检测的大多是随时间变化的物理量。只要输入量是时间的函数，输出量也应该是时间的函数。性能优良的传感器的输出量随时间变化的曲线应与输入量随时间变化的曲线相一致，即无失真地再现输入信号。但实际测试中经常会发现两者之间存在差异，这种差异可以认为是动态测量误差。因此，仅仅考虑传感器的静态特性参数是不够的，还需要对传感器的动态特性进行研究，其目的在于更清楚地了解和掌握传感器能否正确反映输入信号的变化以及如何减小动态测量误差等。在研究传感器的动态特性中所应用的理论是系统论的知识，即把传感器视为系统，把输入量视为输入信号，输出信号视为系统的响应信号，这样就可以把传感器的动态特性模型描述为线性微分方程。为简化线性微分方程的求解，用拉普拉斯变换将时域的模型转换为复数s域的数学模型——传递函数。有关知识已在自动控制原理和信号分析与处理等课程中学习，本书中只对与传感器有关的内容进行介绍。
传感器的输入信号即实际被测量随时间变化的形式可能是多种多样的，但在研究动态特性时不能这样考虑。通常，根据标准输入来研究传感器的动态响应特性。常用的标准输入有正弦输入和阶跃输入。与正弦输入对应的动态响应称为频率响应，而与阶跃输入对应的动态响应称为时间响应或瞬态响应。
二、传感器的动态特性模型
精确地建立传感器的动态特性模型是困难的，故通常近似地把传感器看作是线性定常系统，用高阶常系数线性微分方程来表示输入-输出关系，即
式中，y为输出量；x为输入量；t为时间；a0,a1,…,an和b0,b1,…,bm为常数。
可以由式（1-6）求解动态特性，但对于高阶系统和复杂输入信号时由式（1-6）求解将是非常困难的事情。因此，应用工程控制论的方法如传递函数和拉普拉斯变换方法将使这一问题得到很好的解决。
三、传递函数
（一）传递函数的表达式
零初始条件下，输出信号y（t）的拉普拉斯变换Y（s）与输入信号x（t）的拉普拉斯变换X（s）之比称为系统的传递函数，记为H（s），即
对式（1-6）进行拉普拉斯变换，则有
由式（1-8）可知，等式右端是一个与输入无关的表达式，它只与传感器的结构参数有关，因此，它是传感器特性的表达式。而且，Y（s）、X（s）、H（s）三者中只要知道任意两个，第三个便可容易求解。这为了解复杂系统的信息特性创造了方便的条件。
（二）一阶传感器的传递函数
可用一阶微分方程描述的传感器称为一阶传感器，其微分方程可表达为
其传递函数为
式中，k为静态灵敏度，k=b0/a0；τ为时间常数，τ=a1/a0。
（三）二阶传感器的传递函数
可用二阶微分方程描述的传感器称为二阶传感器，其微分方程可表达为
其传递函数为
式中，k为静态灵敏度，k=b0/a0；ωn为固有频率，
；ζ为阻尼比，
。
四、正弦输入与频率响应
（一）频率响应的表达式
当输入正弦信号x（t）=Asinωt并且经过一定时间进入稳定状态后，输出信号也是正弦信号，只是幅值与输入信号的幅值不等且有相位差。但即使输入信号的幅值不变，只要ω变化，输出信号的幅值和相位都会随之发生变化，即y（t）=Bsin（ωt+φ）。所谓频率响应就是在这种稳定状态下幅值的比B/A，以及相位差φ随ω的变化而变化的特性。
对于线性定常系统，可以用傅里叶变换代替拉普拉斯变换，在正弦输入的情况下，即在传递函数式中用jω代替s，相应地有
由式（1-13）可知，频率响应特性H（jω）是频率ω的函数，一般为复数，因此，也可以将H（jω）表示为H（ω），即
式中，A（ω）为H（ω）的模；φ（ω）为H（ω）的辐角。
A（ω）-ω曲线称为幅频特性曲线，φ（ω）-ω曲线称为相频特性曲线。
（二）一阶传感器的频率响应
根据式（1-10）所表达的一阶传感器的传递函数，可求得其频率响应为
其幅频特性为
相频特性为
如图1-9所示为一阶传感器的频率特性。
（三）二阶传感器的频率响应
根据式（1-12）可求得二阶传感器的频率响应为
图1-9 一阶传感器的频率特性
a）幅频特性 b）相频特性
幅频特性为
相频特性为
二阶传感器的频率特性曲线如图1-10所示。
图1-10 二阶传感器的频率特性
a）幅频特性 b）相频特性
五、阶跃输入与时间响应
一般认为，阶跃输入对传感器来说是最严峻的，若在阶跃输入作用下传感器能满足动态指标要求，则在其他形式的输入作用下，其动态性能指标也一定能满足要求。
设单位阶跃信号为
信号波形如图1-11a所示，其拉普拉斯变换为
（一）一阶传感器的阶跃响应
根据传递函数可得
对式（1-21）进行拉普拉斯反变换，得
一阶传感器的阶跃响应曲线如图1-11b所示。
图1-11 一阶传感器的阶跃响应
a）单位阶跃信号 b）一阶传感器的阶跃响应曲线
（二）二阶传感器的阶跃响应
根据式（1-12）可得二阶传感器阶跃响应的拉普拉斯变换式为
二阶传感器的阶跃响应曲线如图1-12所示。由于阻尼比ζ的不同，其响应结果有很大差别。因此，有必要根据阻尼比的大小展开讨论。
图1-12 二阶传感器的阶跃响应曲线
1）当0<ζ<1时，为衰减振荡情形。通过对式（1-23）进行拉普拉斯反变换可得
式中，
。
2）当ζ=0时，为无阻尼情形，即为一等幅振荡过程，振荡频率为传感器的固有频率。工程实际应用中的传感器不会出现这种情况。
3）当ζ=1时，为临界阻尼情形。可解得
式（1-25）表明，当ζ=1时，传感器系统既无超调也无振荡。
4）当ζ>1时，为过阻尼情形。此时的二阶传感器已蜕化成惯性环节，具有类似于一阶传感器的特性曲线。
根据以上分析可知，阻尼比对传感器的特性有很大影响，因此，结合工程实践经验，通常将二阶传感器设计成欠阻尼系统，阻尼比的取值范围为0.6～0.8时可以获得较为合适的综合特性。另外，传感器的固有频率ωn也是一个非常重要的参数，设计时通常要求ωn应至少高于被测信号频率ω的3～5倍，否则可能有被测信号的频率分量丢失。