2.3　稳定性分析

在这一节中将讨论时滞相关/无关的稳定条件，首先讨论标称系统（2.2.6）的随机稳定性，在以后的章节中会经常用到这一结论。

定理2.3.1：给定标量d>0，如果存在正定矩阵Q>0、Z>0，以及合适维数的矩阵Pi（i=1,2,…,N），使得如下的LMI成立

则标称系统（2.2.6）是随机可容许的。其中，符号*表示一些与公式无关的矩阵。

证明：首先证明系统是正则、无脉冲的。

根据式（2.3.1b）可以得到

应用引理2.2.3，根据式（2.3.2）得

那么根据引理2.2.1和式（2.3.1a）及式（2.3.3）可以得知，系统

是随机可容许的。

由于rankE=rE≤n，因此存在非奇异矩阵Ui和Vi，使得

令

根据式（2.3.3）、式（2.3.4）及式（2.3.1a）容易得知

根据式（2.3.2），得

现在，分别用和左乘和右乘式（2.3.6），可以得到

因此可以得知（i=1,2,…,N），从而系统是正则、无脉冲的。根据定义2.2.2，系统（2.2.6）对于时滞d>0是正则、无脉冲的。

现在证明系统（2.2.6）是随机稳定的。构造如下形式的Lyapunov泛函

令是随机过程{x(t),r(t)}下的弱无穷小算子，则对于任意可以得到

利用引理2.2.5可得

因此根据式（2.3.7），可以得到

这里

根据式（2.3.1b）和充分小的，有

根据式（2.3.10）利用Dynkin公式（邓肯公式）得

这包含

因此根据定义2.2.2，可以得知标称系统（2.2.6）是随机稳定的。定理2.3.1证明完毕。

注记2.3.1：定理2.3.1对于标称系统（2.2.6）提出了随机可容许的充分条件。如果设定定理2.3.1中的矩阵（ε是一充分小的正数），那么定理2.3.1恰好就是众所周知的时滞无关的随机可容许准则[140]（定理3.1）。

推论2.3.1：给定标量d>0，如果存在正定矩阵Q>0，以及合适维数的矩阵Pi（i=1,2,…,N），使得如下的LMI成立

则标称系统（2.2.6）是随机可容许的。

对于定理2.3.1，关于标称系统（2.2.6）的随机可容许的结论，利用引理2.2.4，可以非常方便地推广到如下具有时变结构不确定性的系统

将定理2.2.1推广，有如下结论。

定理2.3.2：给定标量d>0，如果存在正定矩阵Q>0，Z>0，以及合适维数的矩阵Pi和标量εi（i=1,2,…,N），使得式（2.3.1a）和如下的式（2.3.13）成立

式中

则系统（2.3.12）是鲁棒随机可容许的。

证明：用Ai+H1iFiM1i和Adi+H1iFiM2i分别替换式（2.3.1b）中的Ai和Adi，这样式（2.3.1b）可以改写成

式中，定义于式（2.3.1b）。利用引理2.2.4，式（2.3.14）成立的一个充分必要条件是存在正数（i=1,2,…,N）使得下式成立

应用Schur补，式（2.3.14）等价于式（2.3.13）。定理2.3.2证明完毕。

如果设定定理2.3.1中的矩阵（ε是一充分小的正数），那么可以将定理2.3.1推广到时滞无关的鲁棒随机可容许准则。

推论2.3.2：给定标量d>0，如果存在正定矩阵Q>0，以及合适维数的矩阵Pi和标量εi（i=1,2,…,N），使得如下的LMI成立

式中

则系统（2.3.12）是鲁棒随机可容许的。

根据定理2.3.1，可以获得如下标称广义时滞Markov跳变系统（2.3.16）的H∞性能分析

定理2.3.3：给定标量d>0，γ>0，如果对于任意，存在正定矩阵Q>0、Z>0及合适维数的矩阵，使得式（2.3.1a）和如下的LMI成立，那么广义时滞Markov跳变系统（2.3.16）随机可容许且具有范数界γ

式中

证明：根据定理2.3.1和式（2.3.17）容易得知广义时滞Markov跳变系统（2.3.16）是随机可容许的。接下来证明系统（2.3.16）具有H∞性能指标γ。考虑下述指标

式中，。同样令为随机过程{x(t),r(t)}上的弱无穷小算子。根据零初始条件下和，采用定理2.3.1的证明方法可以得到

式中

应用Schur引理，根据式（2.3.17）和式（2.3.18），对于任意，可以得到，因此性能参数γ满足。定理2.3.3证明完毕。

根据定理2.3.3可以得到如下的时滞无关的条件。

推论2.3.3：给定标量d>0、γ>0，如果对于任意，存在正定矩阵Q>0、Z>0及合适维数的矩阵，使得式（2.3.1a）和如下的LMI成立，那么广义时滞Markov跳变系统（2.3.16）随机可容许且具有范数界γ

对于定理2.3.3，利用引理2.2.4推广到如下具有时变结构不确定性的系统

定理2.3.4：给定标量d>0、γ>0，如果对于任意，存在正定矩阵Q>0、Z>0及合适维数的矩阵和标量，使得式（2.3.1a）和如下的LMI成立，那么广义时滞Markovian跳变系统（2.3.19）随机可容许且具有范数界γ

式中

证明：用、、、、、分别替换式（2.3.1b）中的、、、、和，这样系统（2.3.19）中对应的式（2.3.17）可以改写成

式中，定义于式（2.3.17）。利用引理2.2.4，式（2.3.14）成立的一个充分必要条件是存在正数（i=1,2,…,N）使得下式成立

应用Schur补，式（2.3.22）等价于式（2.3.20）。定理2.3.4证明完毕。

将定理2.3.4推广到如下的时滞无关的条件。

推论2.3.4：给定标量d>0、γ>0，如果对于任意，存在正定矩阵Q>0及合适维数的矩阵和标量，使得式（2.3.1a）和如下的LMI成立，那么广义时滞Markov跳变系统（2.3.19）随机可容许且具有范数界γ

式中