Circle / 圆

前两章介绍了数论和概率两个领域的内容。下面我们考虑一个几何话题, 这是数学的一个重要分支。正如我们将在第G章中所看到的那样, 几何是古希腊数学家最关注的领域, 拥有悠久而光辉的历史。在古典数学世界中, 这门学科如此著名, 以至于数学家和几何学家二者成了同义词。在很大程度上, 几何就是数学家的工作对象。

当然, 我们可以从许多不同的角度介绍几何。本章讲述的是圆, 这是最重要的几何概念之一。圆简单、端庄、优美, 充分展示了二维的完美。在古希腊人的手里, 这些圆不仅自身非常重要, 而且是展示其他几何思想的主要工具。

圆这一术语已经成为我们的常用词。根据定义, 圆是到一个固定点距离相同的所有点组成的平面图形。这个固定点称为圆心, 而所有点到圆心的相同距离称为半径。通过圆心穿过圆的线段距离称为直径。这个圆形曲线的长度, 即做一次完整圆周运动所经过的距离称为周长。

第一次认识圆的初学者也会很快认识到这样一个事实：所有圆都有相同的形状——可能有的大些而有的小些, 但是它们“圈”的样子, 它们完美的圆形是完全相同的。数学家称所有圆都是相似的。不妨做个对比, 我们说并不是所有的三角形都有相同的形状, 并不是所有的矩形都有相同的形状, 并不是所有的人都有相同的体态。我们很容易想象高而细长的矩形, 或者高而瘦的人。但是, 高而细长的圆根本就不是圆。

所以, 圆都有相同的形状。在这些枯燥的观察之后有一个重要的数学定理：对于所有圆来说, 周长与直径的比值是相同的。无论是有大圆周和大直径的大圆, 还是有小圆周和小直径的小圆, 周长与直径的这个相对比值都是相同的。设表示周长, 表示直径, 数学家说, 对于所有的圆, 比值是常数。

我们把这个常数称作什么呢？数学家从不会错过引入新符号的机会, 他们选择了希腊字母表中的第十六个字母, 从此使它成为一种数学永恒。这一选择非常合适, 因为是古希腊人首先对圆进行数学研究的, 但是古希腊人自己并不在这种意义之下使用。

为了形式化这个概念, 我们考虑图C-1并引入如下定义。

图C-1

定义　如果是圆的周长, 是它的直径, 那么。

交叉相乘后, 这个定义产生了一个著名的公式。由于直径是半径（）的两倍, 我们利用这个关系得到了一个等价的著名公式。

因此, 提供了周长（一个长度）和半径（另一个长度）之间的关系。这非常重要, 因为同样是这个常数提供了圆的面积与其半径之间的关系, 尽管这一事实不是十分显然的。讨论一下为什么会这样, 还是很值得的。

其重要思想是用一个内接正多边形来近似一个圆, 所谓的正多边形指的是所有边都有相同长度且所有角都有相同大小的多边形。与圆比起来, 多边形是一个更容易接受的图形, 我们对于多边形的了解能引导我们了解它们的外接圆。

图C-2

在图C-2中, 我们看到一个正多边形内接于半径为的圆。为了确定这个多边形的面积, 我们从这个圆的圆心到这个圆上的五个顶点画半径, 于是把这个多边形分成五个三角形。每个三角形都有长度为的底边, 这是这个多边形的边。三角形的高为, 这是从这个圆的圆心到这个多边形的边垂直画出的虚线, 我们称其为边心距。根据著名的三角形面积公式, 我们看到

所以

而正是这个多边形的边长的5倍, 因此它等于这个多边形的周长。总之, 我们已经得到

经过片刻的沉思, 我们就会明白, 无论我们在一个圆内内接一个正五边形还是正二十边形或者正1000边形, 这个公式都成立。对于一般的情况, 即在圆内内接一个正边形, 这个多边形被分成个小三角形, 每个小三角形都有相同的边心距（从圆心到多边形的边的垂直距离）和底（这个边形的边长）。因此,

因为周长是多边形边长的倍。

现在, 我们想象连续地内接一个正10边形、一个正10000边形、一个正10000000边形等, 这样不停地增加边数。很显然, 至少在直观上, 以这种方式, 多边形将逐渐“填满”（fill up）圆, 古希腊人说这是“耗尽”（exhaust）圆, 因此内接图形的面积将接近圆面积, 以圆面积为其面积的上限。使用记法lim表示极限limit, 我们看到

内接正多边形的面积永远不会与圆的面积精确地相等, 因为无论内接多边形的边多么小, 它们都不会精确地与圆弧重合。但是, 这个多边形的面积可以任意接近这个极限面积, 即这个圆的面积。

还有两个问题：当多边形的边数无限增加时, 边心距和周长有什么变化呢？显然将以这个圆的半径为其极限值。同样内接正边形的周长的极限值是这个圆的周长。这些事实可以用符号表示如下：

因此,

终于露面了, 因为我们注意到上面的。因此前面的公式变成：

毫无疑问, 这是数学中一个关键的公式, 这个公式不仅令数学家感到兴奋, 甚至令报纸漫画家感到兴奋（见图C-3）。

图C-3　（FRANK & ERNEST, 得到NEA, Inc. 的许可翻印）

所以, 如果求一个给定的圆的周长或者面积, 我们就一定会遇到。但是这引发了一个实际问题, 即要确定这个重要的比值。总之, 是一个真正的、毫不掺假的数的符号, 任何人要做与圆相关的计算时都需要知道这个数（至少是近似值）。就像只使用“鸡蛋”一词不能做蛋糕一样, 只使用符号也无法求圆面积的数值。

近似比值的最简单的方法是量出某个圆的周长和直径, 然后由前者除以后者。例如, 绕一辆自行车的轮胎一周的一段绳子量出是82英寸[3], 而同时拉伸另一段绳子测得这个轮胎的直径是26英寸。因此, 我们实际的实验产生的估测是, 而表示“约等于”, 和前一章的意思一样。遗憾的是, 当用同样的方法去测量一个咖啡罐的圆形盖子的周长和直径时, 我们得到, 这个结果并没有非常接近第一次的估测值。像这类物理测量显然要带来一些误差, 无论如何, 现实中的咖啡罐和自行车轮胎都不是完美的数学圆。

为了对周长和直径的比值做一次精确的数学估测, 我们把注意力转向锡拉库扎的阿基米德（公元前287—前212）, 这是数学史上一位令人尊敬的人物。阿基米德是一个有点古怪的人, 经常心不在焉, 沉迷于自己的想法。早在他那个时代, 他就被认为是一位科学天才。不管怎样, 之所以人们至今仍然纪念他, 可能是因为他辨别出赫农王的王冠被掺了假。

据传说, 这位锡拉库扎的国王命令一名工匠用一定量的黄金制作一顶精致的王冠。当这项计划完成时, 有流言说这名工匠用一定量的银取代了等量的黄金, 因此这个王冠不值钱, 工匠欺骗了国王。这个流言是真的吗？揭示真相的任务被指派给阿基米德。我们引用罗马建筑师维特鲁威（Vitruvius）的一段话来讲述这个故事。

尽管这个故事的真实性有些可疑, 但是它的确是一个著名的故事。也许在整个科学史中, 再没有其他传说能把才智与赤裸等要素如此生动地结合在一起。

历史学家说, 阿基米德经常在沙地上画图形来研究数学。甚至传说他经常携带一个沙盘, 就像当时的一种笔记本电脑。当灵感涌动的时候, 他把沙盘放在地上, 然后抹平沙子, 开始画他的几何图形。在今天看来, 这样的方法显然有它的缺陷：一阵大风就可能把他那杰出的证明吞掉；一个恶棍也许会把定理踢到他的脸上；一只猫可能会闯入沙盘, 弄得狼藉一片, 让他无法静心沉思。

然而, 阿基米德成功了, 他创造了数学的主体, 不仅把它留给了他同时代的人, 而且还一代一代地传给后来的学者。我们将在第S章接着介绍他, 在那里我们将更仔细地介绍他最伟大的成果, 即确定了球的表面积。但是这里先讲述他对圆周与直径的比值的估测, 换句话说, 他对的估测。

同上面的做法一样, 阿基米德的方法是用正多边形逼近圆。尽管下面的做法启用了现代的符号而且起点稍有不同, 但是整个进程与阿基米德的方法一致。这个过程只需要一点代数知识和毕达哥拉斯定理。而毕达哥拉斯定理是说在一个直角三角形中, 其斜边的平方等于其他两个边的平方和。（毕达哥拉斯定理将在第H章讨论。）

我们利用图C-4, 有一个圆的内接正方形。因为周长和直径的比值对于所有圆都是相同的, 所以可以把这个圆的半径选为, 这使得我们的工作变得相对简单些。因此这个正方形的对角线, 即图中的虚线是这个圆的直径, 。

图C-4

我们用表示这个正方形的边长, 于是直角三角形有两个边的边长是, 斜边是2。根据毕达哥拉斯定理, 它满足, 所以, 。于是这个正方形的周长是。

这个正方形的周长首先给出了这个圆的周长的一个粗略的估测。用正方形的周长取代圆的周长, 我们得到

此时的近似值2.8284误差很大, 甚至比上面的自行车的轮胎估测值更糟糕。如果我们不能比这做得更好, 那就真应该回到制图板或者沙盘了。

但是, 根据阿基米德的思想, 我们可以通过加倍这个多边形的边数来改进第一次估测, 因此得到一个内接正八边形并设它的周长是这个圆的周长的下一个估测值。我们再次把边数加倍, 得到一个内接正十六边形, 然后是正三十二边形, 等等。显然每一步, 我们的估测值都更精确。同样显然的是, 在这一方法中, 我们的主要障碍是确定这些多边形中的一个多边形的周长与下一个多边形周长之间的关系。

再次使用毕达哥拉斯定理就可以克服这一障碍。图C-5给出了圆心是且半径为的一个圆的一部分。长度为的线段是内接正边形的一条边。点把线段二等分, 画一条通过点的半径, 其与圆相交于点, 生成线段, 这是内接正边形的一条边。如果是的长度, 我们希望确定与之间的关系, 即一个内接正多边形的边长与边数是其边数2倍的正多边形的边长之间的关系。

图C-5

首先注意到是直角三角形, 其斜边长为, 直角边的长为。如果代表直角边的长, 毕达哥拉斯定理保证

因为的长度显然是（半径）的长度和的长度之差, 于是我们得出的长度是

再次对直角三角形运用毕达哥拉斯定理, 得到

/4项消失了。我们把上面表达式中的2从根号外面移到根号里面就可以化简这个表达式, 于是得到

最后得到

现在, 我们要回到对进行估测的问题上来。回想一下我们的内接正方形的边长是。当我们运用上面的公式计算内接正八边形的边长时, 这个值相当于：

因此八边形的周长是, 于是我们估测为

接下来我们要利用十六边形。这一次, 这是已经确定的正八边形的边长, 我们使用它求正十六边形的边长：

所以十六边形的周长是

于是我们对的更好的估测值是

现在我们取得了某种程度的进展。再次把边数加倍, 并运用这一公式得到内接正三十二边形的周长是

所以的估测值为

我们可以继续进行。显然我们可以随意重复这一过程。事实上, 这一进展模式使得从一步到下一步的过渡变得非常顺利。

在计算器的帮助下, 我们再进行七次加倍, 得到了正六十四边形、正128边形、正256边形、正512边形、正1024边形、正2048边形以及正4096边形。显然正4096边形已经相当接近圆了, 尽管它与自己所内接的圆不完全相同。这次对的估测是：

上面的表达式已经精确到了小数点后第五位, 它的特殊外形充分展示了数学的艺术性。更重要的是我们知道了如何得到更精确的估测值：再继续这样的模式一次, 或者一激动再做50次。以这样的模式, 常数可以达到我们希望的精确度。

使用正多边形的这种基本方法要追溯到22个世纪之前的阿基米德。但是它有一种缺点：需要计算平方根的平方根的平方根。随着每一次边数的加倍, 我们都陷入一次平方根嵌套, 因而随之使整个过程变得复杂。阿基米德当时既没有十进制体系也没有计算器, 他不得不通过寻求大致等值的小数来渡过平方根造成的难关。他最后用到了正九十六边形。他做到的这一切已经足以证明了他是天才。

然而还有更容易、更有效的途径到达同样的终点吗？答案是肯定的, 尽管在17世纪微积分和无穷级数出现之前, 这一途径还隐于迷雾之中。只有有了微积分和无穷级数, 数学家才能真正找到更有效的近似值。尽管这是一个相当精妙的话题, 但是我们还是希望至少给出一种冲击这一防线的感觉。

有一个重要的函数, 它被称为反正切函数（记为）, 出身于三角学领域, 在这里我们不需要考虑三角学。重要的是, 我们可以把表示成无穷级数。

上面这个求和过程以一种显然的模式无限地进行下去。我们越往前进行算术运算, 就越接近的真实值。

但是这与有什么关系呢？使用三角学我们可以证明下面的事实：

然后, 我们分别把, , 代入上面所示的级数中来近似, , 。对每一个级数计算七项得到：

像我们前面的估测一样, 这一估测可以精确到小数点后许多位。然而前面的估测导入了很多平方根, 其中每一个都需要自己的估测程序, 而上面的估测却再也见不到平方根的身影！通过引入的无穷级数, 数学家可以避开平方根这样可怕的事情。

在大约三个世纪前取得的这一成果使得人们在的计算方面有了巨大的进步。1948年（计算机出现之前）, 人们就已经将精确到小数点后808位了。一年后, ENIAC计算机把这一精度推到了2037位[2]。而按现在的标准, 这样的计算机绝对是太初级了。这一精度的改进说明一个事实：计算机可以做的任意位数的计算。的确, 位数探索已成为一小部分人热情追逐的事情, 他们致力于一系列数值计算机的研究。不久, 精度就增加到10万位、100万位, 以及令人吃惊的10亿位。这样的计算一般在著名大学或大型研究中心内依赖于强大的超级计算机完成。

然而, 戴维（David）和乔治 • 楚德诺夫斯基（Gregory Chudnovsky）这一对聪明却有点古怪的兄弟却逆潮流而上, 在曼哈顿岛公寓里, 他们把邮购来的元器件组装成计算机, 计算到小数点后20亿位。他们的工程令桌面放满了计算机部件, 走廊上布满了电线, 所有这些电子小部件产生的热量使得公寓的室温急剧升高。尽管如此, 楚德诺夫斯基兄弟俩还是努力完成了这一任务。这兄弟二人的方法与各大学的超级计算机的对比就相当于他们二人与《圣经》故事中的巨人歌利亚的对比, 尽管此时, 这对处于劣势的兄弟拥有许多小硅棒。[3]

如果说纽约的楚德诺夫斯基兄弟是成功攻克了的一对孤独的狼, 那么古德温（E. J. Goodwin）医生的孤军奋战则相当失败。他的故事很多数学家都知道, 却常讲常新。

故事发生在19世纪末。古德温医生生活在美国印第安纳州的索利图德镇（Solitude, 意为“孤独、荒僻”）, 这是一个偏远且毫无生气的小镇。为了打发业余时间, 这位优秀的医生涉足了数学, 遗憾的是, 他热情有余而能力不足。他相信自己对圆的面积及其周长之间的关系做出了重大发现, 事实上这就隐含着关于的重大发现。

伟大的数学进步应该与学术团体一起分享, 但是古德温医生却采用了不同的策略。他把他的成果引上了政治舞台而不是学术舞台, 他要求印第安纳州众议院的代表引入下面的条款作为1897年的246号法案：“印第安纳州众议院制定如下法律, 确定圆的面积等于这个圆的周长的四分之一的平方。”[4]当然, 1897年的政治领导人并不比现代的政治领导人对数学更内行, 只不过他们觉得它完全可以接受。但是这是什么意思呢？

图C-6

正如图C-6所示的那样, 古德温的法案说左边圆的面积等于右边正方形的面积, 而正方形的每条边长正好等于圆周长的四分之一。如果我们用表示这个圆的半径, 周长表示为, 那么我们知道这个圆的面积等于, 而正方形的面积等于：

若像古德温所说的那样, 这两个面积相等, 那么有下式成立：

交叉相乘后我们得到, 消除两边的, 我们得到最终结果是。

也许阿基米德要在他的坟墓里抗议, 但是印第安纳州的立法者们没有一个人因为这样的结论而感到困惑。对于他们来说, 这些话听起来太深奥而无法反驳。奇怪的是, 这一法案首先由众议院沼泽地事务委员会讨论通过。1897年2月, 众议院教育委员会讨论通过。三天后, 整个印第安纳州议会代表投票表决赞同古德温的主张：。

其间, 这件事引起了新闻界的注意, 《印第安纳波利斯哨兵》就表明了对它的支持：

上段文字除了说明州教育厅长支持这一法案之外, 还给出了后面某些奇怪举动的一个合适的理由：这些立法人员非常渴望全美国人民或者全世界人民都使用这个新的值, 从而使印第安纳州拥有全国乃至世界性的荣誉。

246号法案提交到参议院的戒酒委员会, 并于2月12日获得通过, 只要再通过参议院全体会议, 就能得到法律的身份了。

幸运的是, 在最后关头, 这一法案没有通过。它的失败很大程度上要归功于普度大学的数学家沃尔多（C. A. Waldo）, 他当时正在印第安纳波利斯。沃尔多回忆了他在参观州议会大厦时所发生的事情, 下面是别人的回忆：“一名委员向他出示了这个法案的副本……并问他是否愿意认识一下这位博学的医生。他婉言谢绝了这番好意, 并说他已经认识了足够多的疯子。”[6]

由于这位教授的负面评价, 通过这个法案的提议被否决了。2月12日下午, 参议院无限期推迟了这一议案, 维持等于的合法性。一位很有见识的反对该议案的参议员哈贝尔抱怨说：“参议院还不如立法让水往山上流。”

从阿基米德的沙盘到印第安纳州的立法大厅, 圆和激起了人们的兴趣。在本书后面的章节中我们还会看到它们两个, 因为它们是数学事业的中心。现在, 我们给出这一世界性伟大数值的前30位小数：

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[3]1英寸等于2.54厘米。——译者注