1.7　神出鬼没的质数

一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外，不能被其他正整数所整除，这个整数就叫作质数。质数也叫素数，如2、3、5、7、11等都是质数。

如何从正整数中把质数挑出来呢？自然数中有多少质数？对于这些问题人们还不清楚，因为它的规律很难寻找。它像一个顽皮的孩子一样东躲西藏，和数学家捉迷藏。

古希腊数学家、亚历山大图书馆馆长埃拉托塞尼提出了一种寻找质数的方法：先写出从1到任意一个你所希望达到的数为止的全部自然数，然后把从4开始的所有偶数画掉，再把能被3整除的数（3除外）画掉，接着把能被5整除的数（5除外）画掉……这样一直画下去，最后剩下的数，除1以外全部都是质数。例如找1～30之间的质数时可以这样做。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30

后人把这种寻找质数的方法叫埃拉托塞尼筛法。它可以像从沙子里筛石头那样，把质数筛选出来。质数表就是根据这个筛选原则编制出来的。

数学家并不满足用筛法去寻找质数，因为用筛法求质数带有一定的盲目性，你不能预先知道要“筛”出什么质数来。数学家渴望找到的是质数的规律，以便更好地掌握质数。

从质数表中我们可以看到质数分布的大致情况：

l到1000之间有168个质数；

1000到2000之间有135个质数；

2000到3000之间有127个质数；

3000到4000之间有120个质数；

4000到5000之间有119个质数。

随着自然数变大，质数的分布越来越稀疏。

质数把自己打扮一番，混在自然数里，使人很难从外表看出它有什么特征。比如101、401、601、701都是质数，但是301和901却不是质数。又比如，11是质数，但111、11111以及由11个l、13个l、17个1排列成的数都不是质数，而由19个l、23个l、317个1排列成的数却都是质数。

有人做过这样的验算：

1²+1+41=43

2²+2+41=47

3²+3+41=53

……

39²+39+41=1601

43～1601连续39个这样得到的数都是质数，但是再往下算就不再是质数了。

40²+40+41=1681=41×41，1681是一个合数。

在寻找质数方面做出重大贡献的还有17世纪的法国数学家梅森。梅森于1644年发表了《物理数学随感》，其中提出了著名的“梅森数”。梅森数的形式为2^p-1，梅森整理出11个p值，使得2^p-1成为质数。这11个p值是2、3、5、7、13、17、19、31、67、127和257。仔细观察这11个数，人们不难发现，它们都是质数。不久，人们证明了如果梅森数是质数，那么p一定是质数。但是要注意，这个结论的逆命题并不正确，即p是质数，2^p-1不一定是质数。

梅森虽然提出了11个p值可以使梅森数成为质数，但是，他对11个p值并没有全部进行验算，其中的一个主要原因是数字太大，难以分解。当p=2、3、5、7、13、17、19时，相应的梅森数为3、7、31、127、8191、131071、524287。由于这些数比较小，人们已经验算出它们都是质数。

1772年，已经65岁的双目失明的数学家欧拉，用高超的心算本领证明了p=3l的梅森数是质数。

还剩下p=67、127、257三个相应的梅森数，它们究竟是不是质数，长时期无人去论证。梅森去世250年后，1903年在纽约举行的数学学术会议上，数学家科勒教授做了一次十分精彩的学术报告。他登上讲台却一言不发，拿起粉笔在黑板上迅速写出：

2⁶⁷-1=147 573 952 589 676 412 927=193 707 721×761 838 257 287

然后他就走回自己的座位。开始时会场里鸦雀无声，没过多久全场响起了经久不息的掌声。参加会议的人们纷纷向科勒教授祝贺，祝贺他证明了第九个梅森数不是质数，而是合数！

1914年，第十个梅森数被证明是质数。

1952年，借助电子计算机，人们证明了第十一个梅森数不是质数。

以后，数学家利用运算速度不断提高的电子计算机来寻找更大的梅森质数。1996年9月4日，美国威斯康星州克雷研究所的科学家，利用大型电子计算机找到了第三十三个梅森质数，这也是人类迄今为止所认识的最大的质数，它有378 632位。

数学家尽管可以找到很大的质数，但是质数分布的确切规律仍然是一个谜。古老的质数，它还在和数学家捉迷藏呢！