第1章　身世奇妙的数字

1.1　数字产生的来龙去脉

数，作为人类对物体集合的一种性质的认识，是以长期经验为依据的历史发展结果。人类最早的数量概念是什么呢？是“有”和“无”。

原始人早晨出去采集或狩猎，晚上回来可能是有所收获，也可能是两手空空。这就是“有”和“无”这两个数学概念产生的实际基础。

其次就是“多”和“少”，开始只是模糊的概念，今天采集的野果比昨天多些，可是打的野兽却比昨天少些。大致如此，没有人去认真地管它。

可到后来，认识逐渐清晰起来，特别是在数量少的时候。例如，你抓了两只兔子，我抓了三只。我们可以一对一地比较。你摆出一只，我也摆出一只；你再摆出一只，我又摆出一只；你没的摆了，我还有的摆，明显我比你多，你比我少。这里就是兔子的“集合”与“集合”之间的对应关系。

原始社会是集体劳动，共同分配的。今天打了多少野兽，分成多少份肉，一人一份——这也是对应的关系。

有和无、多和少的数量感觉，其实动物界就有了萌芽。生物学家做过实验：在某种鸟类和黄蜂的窝边，趁着它们不在，偷偷地增加或减少点什么——一根树棍、几根草、几颗泥粒，它们回来以后，会觉察这些变化。这种能力，就是数量的感觉。

到了人类，因为有了思想意识，所以，他们能意识到有和无、多和少。

数量的多少，有个出发点，这个出发点就是一。

如果问：什么叫作“一”？翻开《辞海》可以看到：“数之始。”这又是不说还清楚，一说倒糊涂。因为，什么叫作“数”？什么叫作“始”？一个问题变成了两个问题，而且还不止两个问题。比如说：什么时候我们知道有“数”呢？那就是在我们数东西的时候，才知道有“数”。可是，如果只有一个东西，还用得着数吗？

所以说“一”是一个数，这是我们现在的想法，古代人却不一定这样想，甚至到了18世纪还有人说“一不是数”。

你也许会说：“一是一个单位。”北京猿人采集朴树籽作为食物，一粒朴树籽是“一”，一堆朴树籽也是“一”。而且一堆朴树籽和另一堆朴树籽堆在一起，还是一堆朴树籽。北京猿人当然不会这样想，他们只是一把一把地吃着，一堆朴树籽越吃越少。

一粒朴树籽是“一”，一小堆朴树籽是“一”，一大堆朴树籽也是“一”。可见“一”中包含着“多”，许多“一”加起来就是“多”，“多”中也包含着“一”。

原始人有了“一”这个概念，大概很快就有了“二、三、四、五、六……”这些数的概念了吧。就像一架梯子似的，爬上了第一级，这是“一”；继续爬，爬到第二级，不就是“二”了吗？

如果说认识数字像爬梯子，那原始人真比蜗牛还慢得多呢！

在很长的时期里，人们只知其一，不知其二。知道二了，也不叫“二”。例如近代许多原始部落，他们要说“二”的时候就说“眼睛”。汉语的“二”和“耳”同音。原来“二”的音是从“耳朵”的“耳”的音借用来的。

我国西藏地区的人怎样说“二”呢？他们说“鸟的翅膀”。眼睛、耳朵、鸟的翅膀都是两个，这些帮助原始人得到“二”的概念。

在以后很长很长的时期里，人们只知道“一”和“二”，因为他们不需要很多的数目，甚至在近代一些原始民族中还是这样。

那么“二”以上呢？“二”以上，我们说是“三”，但是原始人就以为是“多”了。在古代汉语中就是这样。现在我们还可以看到这种概念留下的痕迹，例如“三人为众”，三个“木”就是“森”。我们说“再三”“三思而行”“一日不见，如隔三秋”……“三”都是多的意思。

中非的原始部落只有三个数：一、二和多。三五头牛固然叫作多，几十万头牛他们也只是说“多”。

南美巴拉圭的印第安人，他们的“四”字是“鸵鸟足趾”的意思，因为那里的鸵鸟每只脚两个脚趾，两只脚一共是四个脚趾。他们还用“五色的斑皮”来代替“五”字。但是更多的地方，如印度、伊朗、非洲和南美洲的一些原始民族，他们把“五”叫作“手”，佛教语的“五”和波斯语的“手”就很接近。这是大家都很容易理解的，因为一只手有五个指头。

南美洲有的地方，把“六”叫作“手一”，“七”叫作“手二”，“十”就叫“双手”。达曼人把“二十一”叫作“两个人零一个手指”。

热带一些地方，人们永远赤脚，扪了手指再扪脚趾，于是“二十”就叫“手脚全指”，例如墨西哥古代的玛雅人就是这样。在格陵兰的某些地方干脆把“二十”叫作“一个人”，于是四十就叫作“两个人”了。

我们今天的日历上还用“廿”这个数目。英语中有时也说“两个廿”“三个廿”等，而在法语中的“八十”是“四个廿”，“九十”是“四个廿加十”。

随着人们生产斗争的需要和交往的增多，数目也一个一个地、慢慢地而又越来越快地加多了。

到了3600多年前，我国商代的人把文字刻在龟甲或兽骨上，这就是我们现在所说的甲骨文。甲骨文记载了战争中杀死或俘获的人数、狩猎时所获得鸟兽的头数，以及祭祀时所用牲口的数目。例如，有片甲骨上刻着：“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人。”意思是说：在八日辛亥那一天，在一次战争中消灭了2656个人。另外，从甲骨文的数字中，我们知道那时候已经有了“三万”这么大的数目了。

人们为了把比较所得的结果告诉别人，就要记数。“记数”就是把数记下来的意思。在使用文字以前，许多民族是用一条绳子打成各式各样的结扣来记数的：事情大就打一个大结扣，事情小就打一个小结扣，结扣的多少就表示数量的多少。后来逐渐有了代替实物的符号，如用刀在实物上刻道道来代替实物打结。比如说，三头牛，三根木棒，三把石斧……是不同性质的事物，但它们却有一个共同的特点，就是都能和三个手指头“一对一”地搭配起来。如果把牛、木棒、石斧等事物的具体属性暂时撇开，就可以用符号“≡”来表示它们的共同特性。像河南省安阳小屯村发现的甲骨文，就是用刀刻在甲骨上的符号。而记数符号-＝≡……，叫作象形记数法。

其实，几乎每一个民族都有过自己的记数符号。早在四五千年前的巴比伦人，曾用有棱角的木片在泥板上压出各种有棱角的符号记数。古埃及人象形数字雕刻在石器或木器上，比如说，“一”的记号像一根木棒；一百万的记号是一个人高高地举起双臂，好像是说这个数真大啊！

随着语言、文字的日渐进化，数字也在不断地发展变化着，经过了漫长的岁月后，才出现了今天所使用的数字符号，像1、2、3、4、5…，这样的数叫作自然数。自然数的问世，是从现实世界中得出的第一个“数的系统”。