1.4　小心会捣乱的分数

把一个单位平均分成n份，每一份就是。相信这是大家从教材上接触的最早的分数，也可称为单分数。然后我们逐渐知道分子不一定总是1，分数之间的加、减、乘、除运算以及分数本身能构成许多令人深思的例子。

蛋糕取走，还剩

其实，分数概念起源于连续量的分割。在中世纪的俄国和英国，分数被称为“破碎数”，而中文中的分数，是“分开的数”的意思。人们最初认识分数，并不像现在一样连续，而仅仅是几个孤立的数，例如、、等。在古代，人们又把称为“半”，、分别被称为“少半”和“大半”等。

在世界数学史上，古埃及人给出了最古老而又较完整的分数的表示方法。单分数在整数n的上面画一个“”，以表示，其他分数用单分数的和来表示。这比起仅认识孤立的分数来说已经进步了很多。但是这种表示方法太复杂也不便于运算。

大约在战国末期，中国的数学家开始将分数的概念建立在两数之比的基础上。这是分数发展史上的一个重要发现。由于把分数看成两数之比，那么一个比式，也就是一个除式便可以看成一个分数表示式。按照古代筹算表示法，将被除数置于除数上面，它与现在分数表示法不同的是少一条分数线。带分数与现在分数表示法的区别是整数部分在分数部分的上面，而不是在左面。在约定俗成的情况下，这些都只是表示法的问题，对于运算的准确性和简捷性没有任何阻碍。由于分数的概念建立在两数之比的基础上，那么分数的一切运算都可以从这个运算出发而得到合理的解决，这也就得到了现代分数计算法则的一套具有中国特色的分数理论，这些都已经被《九章算术》叙述在内。而国外直到1202年，才由意大利科学家斐波那契在《算盘书》一书中对分数进行了较系统的介绍。这也是欧洲最早的一部关于分数理论的书，它比《九章算术》要迟1000多年。

后来，中国古代的分数理论开始在印度流传。印度人除了将筹算法则改成笔算法则外，其余都和中国的分数理论一模一样。分数线是12世纪后期，在阿尔·哈萨的著作中首次出现的。以后随着各国科学的发展，终于形成了现在所使用的分数理论。

分数的产生和发展大致就是这样的。由于分数的概念是建立在两数相除的基础上，所以人们引生出了很多趣味分数问题，不信看看下面这个故事。

有一个老人，养了17只羊。他有3个儿子，在临终时，他嘱咐3个儿子说：“我死后，17只羊，分给老大，老二，老三。”然后他就咽气了。三个儿子安葬完老人后，便开始分羊了。可是分羊时却遇到了困难，因为17这个数，无论以2、3或9去除都不能除尽，怎么办呢？正在大家冥思苦想的时候，老人生前的一个朋友牵着一只羊过来了。他看到老人的三个儿子愁眉不展，便问他们缘由。了解了情况后这个人想了一想，哈哈大笑，他胸有成竹地说：“把我的羊借给你们，连它一起分吧。”三个儿子觉得白拿别人的东西不好，可是在没办法的情况下，只好恭敬不如从命了。于是，老大牵走9只羊，老二牵走6只羊，老三牵走2只羊，还剩下一只羊。老人的好友牵着自己的羊哼着小曲儿又去做自己的事情了。三个儿子一想，似乎不用那只羊也能分，可是为什么自己事先不知道该怎么分呢？

其实，这中间就是分数捣了一点鬼。大家看下面的计算：

++=++=

也就是说，三个儿子分的羊达不到被分羊的总数，而事实上他们应该将17只羊全部分了，所以不应该按照17×、17×、17×的方法去计算，而应该按照∶∶先求出这三个人分配的比例，即9∶6∶2，然后按老大、老二、老三的比例分，这样问题就圆满解决了。

同学们都明白其中的道理了吗？以后如果再碰到类似的问题，可不要和老人的三个儿子一样，大眼瞪小眼也得不到结果。要好好了解分数的含义，再去解决问题。

与分数有关的趣味问题还有很多，感兴趣的同学可以找一些同类题目来锻炼自己。