1.3 光子密度分布与能量分布

既然半导体光电子学涉及的是电子与光子的相互作用，了解二者的态密度及其能量分布是基本的，关系到电子在半导体能带间的跃迁速率。本节和1.4节将分别阐述光子和电子的态密度及其能量分布。与电子相作用的光场，即使是单色性好的激光，光子随能量仍分布在一个有限的光谱范围内。在此用黑体辐射理论分析光子密度分布。

将黑体辐射作为辐射场来分析两能级系统中的量子跃迁特点是由爱因斯坦所确立和被广泛采用的方法。分析表明，将黑体辐射作辐射场来分析其与具有能带结构的半导体中电子互作用所得到的规律并不失其普遍意义。

对于黑体辐射，要推导的物理量是单位体积、单位频率间隔内的光子数，即光子密度分布，这就是普朗克研究黑体辐射早已得出的黑体辐射公式。在研究光与电子互作用的问题中所感兴趣的是辐射场某一振荡模式中的辐射（光子）密度。在此，我们将考虑两个通常使用的描述，即每个模中的辐射密度和单位振荡频率带宽中总的辐射密度。对于后者，在所考虑的辐射腔（谐振腔）中就可包含多个振荡模式。研究黑体辐射能量密度所常用的方法是在辐射场内取出一个立方体来计算该体积内单位体积的态密度。可以用不同的推导方法来得到相同的态密度，差别在于对立方盒内辐射场的特点及形成稳定振荡所需边界条件的处理不同。下面我们用一种结合激光器常用的驻波条件来推导光子态密度。

设辐射腔为一边长为L的立方光学谐振腔，取L≫λ，从而就会有多个允许的振荡模式在腔内存在。光子在谐振腔内能产生稳定振荡的所谓谐振条件（驻波条件）要求光子在腔内来回一周的光程应等于所传播的平面波波长λ的整数倍，可以用波数k来表示这三维空间的驻波条件，即

式中，m、p和q均为正整数，因此每个模所占体积为（πL）3。在以kx、ky和kz直角坐标系所表示的k空间内，代表每一个状态（或模式）的点表示为

k=akx+bky+ckz （1.3-2）

式中，a、b和c分别为三个坐标轴上的单位矢量，在k空间中，波数从k→k+δk的球壳体积为4πk2δk，因式（1.3-1）中m、p和q取正整数，所以我们只需考虑18球壳内的k态数，其值为

考虑到光场有TE与TM两个偏振态，故18球壳内的总态数应是式（1.3-3）的两倍。同时，光子态密度是体积3VL=L3中单位体积中的态数，因此，光子态密度为

实际上，这里所讨论的并不是一个空腔，而是具有折射率为的半导体材料，而在半导体中色散又往往是不能忽略的，所以介质中的波数k及其微分δk可写为

式中，v为光子频率，式（1.3-6）方括号内的因子表示折射率色散。还可用光子的能量E=hv来表示k与kδ

将式（1.3-5）和式（1.3-6）代入式（1.3-4）即得

每个态的平均光子数或每个态为光子所占据的概率服从玻色-爱因斯坦分布：

式中，kB为玻耳兹曼常数。由式（1.3-9）和（1.3-10）就可给出光子密度分布或单位体积内频率在v与v+dv之同的光子数：

为了与普朗克黑体辐射公式一致，常将（1.3-11）的光子密度分布以光子能量分布形式给出，为此，以光子能量hv乘以式（1.3-11）后得出：

有时也把光子密度分布式（1.3-11）表示为单位体积内在能量E和（E+dE）之间的光子数

式中，dE=hdv。如果令P（E）表示单位体积、单位能量间隔内的光子态密度，显然有

而通常采用的是单位体积、单位频率间隔内的光子能量密度，则由式（1.3-12）有