1.4 电子态密度与占据几率

在半导体导带中的电子和价带中的空穴分布通常可表示为某一能量下电子或空穴的态密度ρ（E）与该能态为电子所占据的几率f（E）之积，这类似于上一节所讨论的光子态密度分布。下面还将发现，在推导电子态密度分布过程中还有一些与前面对光子态密度分布的推导相似的地方，所不同的是电子属费米子，它受泡利不相容原理所制约。因此，电子与光子不同，它服从费米-狄拉克统计分布。

在纯半导体中，单位能量间隔的态密度是从电子波函数得来的。在1.2节中已经谈到，本征半导体能带的电子波函数是一个具有波矢为k的平面波。和光子能态一样，半导体中电子的每一能态也对应着某特定波矢为k的波函数的驻波图案。这样，我们可以再一次在半导体中隔出一个边长为L的立方体，在该立方体中波矢为k的平面波得到稳定驻波图案所需要满足的条件同样为

在k空间的每一电子态同样占据（π/L3）的体积，在k→k+δk的能量间隔内单位体积的电子态数同样由厚度为δk的1/8球壳体积与π3之比求得

显然式（1.4-2）中的ρ（k）具有k空间态密度的物理意义。和光子具有两个偏振态一样，在式（1.4-2）中已经计入了电子所具有的两个自旋态。由能带论指出，晶体中电子与自由电子的差别在于晶体中的电子有与自由电子质量不同的有效质量。为了用能量而不用k来表示电子的态密度，我们利用电子动量与其能量的关系E=P22m，以导带底为坐标原点，分别写出导带电子能量Ec和价带空穴能量Ev的表达式：

式中，me和mh分别代表导带电子和价带空穴的有效质量，Eg为禁带宽度。从式（1.4-3）或式（1.4-4）分别所得到的k和kδ代入式（1.4-2）中，便得到导带态密度ρc或价带态密度ρv

由图1.2-1可以看出，具有金刚石结构的Ge、Si和具有闪锌矿结构的GaAs等Ⅲ-V族化合物半导体的能带结构中，除了重空穴带外，还有轻空穴带，两者在价带顶是重合的。轻空穴的有效质量不比自由电子质量mo大多少，因此轻空穴带的态密度与重空穴带相比非常小图1.4-1是根据式（1.4-5）和式（1.4-6）画出的典型半导体导带和价带态密度。在所有直接带隙跃迁的Ⅲ-V族化合物半导体中，导带电子的有效质量几乎比价带重空穴小一个数量级例如在GaAs中有me=0.067mo，mh=0.55mo。因为态密度正比于有效质量的32次方，所以价带态密度与导带相比要大25倍。

除了态密度外，决定载流子在半导体能带中分布的另一个因素是电子态为电子或空穴所占据的几率，即前面曾提到的费米-狄拉克分布函数。正确的理解是由式（1.4-5）和式（1.4-6）所表示的都只是允许电子存在的状态密度，只有考虑了费米-狄拉克分布函数后才是能带中确定的电子或空穴分布情况。费米-狄拉克分布函数是用费米能F作为参数来描述的，它反映了电子微观系统的热平衡情况。当导带与价带之间处于严格的热平衡状态时，就可用统一的费米能级来描述在一定能量范围内导带与价带电子的分布。而当向能带中注入载流子时，原来的平衡就会受到扰动与破坏，这就意味着导带与价带之间不再存在统一的费米能级。如果注入速率不是太大，虽然被注入带与相对的另一带之间不存在平衡，但每个带中的载流子却仍处在准平衡的状态。因此，对每个带来说，可以用各自的费米能级Fc和Fv来描述导带与价带载流子的分布，我们称Fc和Fv为准费米能级。那么，导带和价带中某一能量Ec和Ev为电子所占据的几率分别为

显然，当导带与价带处于平衡时有Fc=Fv=F，而且，1-fc代表导带某能级Ec未被电子占据的几率，1-fv表示价带某能级Ev为空穴所占据的几率。和前面由光子态密度与玻色分布函数之积给出单位体积、某一频率间隔内的光子数的概念一样，电子态密度与相应的费米-狄拉克分布函数之积就表示单位体积内某一特定能级上的电子数。因而，导带中总的电子浓度为

价带空穴浓度为

在高注入速率或重掺杂情况下，态密度随能量的分布与式（1.4-5）和式（1.4-6）表示的不同，随机分布的杂质电荷与自由载流子电荷所造成的晶格场的波动，使导带底和满带顶将出现能带尾态，如图1.4-2所示。由于半导体介电常数一般较高（参看第2章表2.3-1），而且载流子（特别是电子）的有效质量较小，因此，局部杂质态的玻尔半径比氢原子半径大得多。例如，在GaAs中束缚电子和空穴的a*分别为100A和10A。当杂质原子之间的距离rs与a*之比rsa*≈3时，可以认为杂质电离能减少到零，出现与本征能带衔接的杂质带。这时电导率迅速增加，产生所谓“金属性”导电。计算和测量表明，在GaAs中当施主杂质与受主杂质浓度分别达到2×1016cm-3或4×1018cm-3时，就会出现能带尾态效应。一些文献在不同的假设条件下给出了不同的带尾模型，从而也就给出了带尾对载流子密度分布的不同影响。例如，凯恩（Kane）假设杂质随机分布引起的电势涨落具有高斯几率分布，其均方根值Vrms为

式中，和分别为电离的施主和受主浓度，SL为自由载流子不受电离杂质电荷影响的平均距离，称为屏蔽长度，Vrms给出带尾深度η为

这样，凯恩对n型掺杂半导体给出的导带有效态密度为

式中，y（x）为凯恩函数，定义为

由式（1.4-13）可以看出，当Ec＞η，因y（Ec/η）≈（E/η）1/2，这时式（1.4-13）就与式（1.4-5）相同；而当Ec＜0时，y（Ec/η）≈exp（-Ec2/η2），从而出现尾态。

在凯恩的这个带尾模型中，由于将所有尾态无区别对待，带尾只是带边的随机滑移。然而，当滑移幅度大时，易出现很靠近杂质电荷团的小区域，在此区内不再有大量密布的载流子态，而使该区对带尾不产生明显的贡献，这等效于减少了尾深，因此凯恩模型对尾深作了过高的估计。

哈尔普林（B.I.Halperin）和拉克斯（M.Lax）考虑了上述深势阱处载流子局部化的影响而提出了对尾深合理减少的模型。他们对宽度为πLs（Ls为屏蔽长度）势阱中的载流子能态用阱中的最低态进行规一化，提出了一个比凯恩高斯带尾形式复杂得多的能带尾态密度的表达式，在此不列出其繁琐的数学形式，只是将其结果与凯恩带尾曲线一并示于图1.4-3中。该图是由黄振嘉（C.J.Huang）在比较以上两种模型的基础上，对半补偿重掺杂p型半导体分析计算得出的。由图看出，哈尔普林-拉克斯带尾与凯恩带尾相比，尾深有明显减少，特别是有效质量小的导带，其态之间的间隔较大，因而导带尾深减少幅度较大，这是比较符合实际的。

之后，还有一些学者对带尾作了进一步研究，如斯特恩（Stern）将凯恩高斯带尾与哈尔普林-拉克斯带尾进行吻合；还有人将图1.4-3中的哈尔普林-拉克斯带尾与本征抛物线带尾进行吻合等。

经许多实验测量发现，带尾中的态密度按指数曲线变化，即

式中，Et也被定义为尾深，可以通过经验确定。

不管何种带尾模型，带尾的存在总是增加任何特定电子能级上可能的态数。恩格尔（Unger）指出，对某一给定的费米能级F，由于带尾的存在所增加的注入载流子总量相当于温度从T增加到所引起的载流子增量，其中kB为玻耳兹曼常数。在1.2节中已经谈到带尾对电子跃迁概率的影响，以后还将看到，带尾将对半导体激光器的增益、阈值和光谱特性等产生影响。达到“重掺杂”所要求的掺杂浓度与所掺杂质是施主还是受主有关，同时由于价带空穴与导带电子相比有较大的有效质量，因而空穴杂质带有较深的带尾，因此在与主带相衔接后显得突出，这在图1.4-2中已能看出当掺受主杂质浓度约为1018cm-3时，杂质带尾已处于价带较深的位置。