1.5 跃迁速率与爱因斯坦关系

前面几节我们分别讨论了与电子在半导体能带之间跃迁速率的有关因素，这一节将具体分析与半导体光电子器件工作原理有关的三种跃迁（受激吸收、受激发射和自发发射）过程的跃迁速率以及联系这几种跃迁速率的爱因斯坦关系。

首先扼要地讨论一下影响以上三种跃迁速率的因素：

（1）与跃迁有关的电子能级的情况。显然电子在半导体能带之间的跃迁只能始于电子的占有态而终止于电子的空态，因此跃迁速率应正比于与跃迁有关的初态被电子占据的几率和跃迁终态被空着的几率。

（2）在受激发射与受激吸收跃迁中，跃迁速率应正比于激励该跃迁过程的入射光子密度。为产生受激跃迁，需使入射光子的能量大于或等于与跃迁有关的两能级之间的能量差。如果激励这种跃迁过程的入射光是光谱很纯的单色（或单模）光，则跃迁速率比例于单频中的光子密度。然而，多数实际情况是作用在这种过程中的光子有一定的能量范围，或光子的振荡频率分布有一定的宽度，则电子在能带之间的跃迁速率将比例于式（1.3-15）所表示的单位能量间隔中的光子密度P（hv）。

（3）每单位能量间隔中光跃迁的密度，这对激励光为多模时固然重要，但即使是单色光，也同样应该考虑在单位能量间隔中参与光跃迁的电子态密度。因为对某一特定能量的光子能使半导体能带中一定能量范围内的电子跃迁。按照量子力学原理，光子与电子互作用时间越短或互作用过程越快，则跃迁所涉及的能量范围就越宽。因此，在有多对能级参与跃迁的情况下，有必要在总的跃迁速率表达式中引进有关电子和能量的态密度。用ρred（hv）表示单位能量间隔中，两自旋方向之一的电子参与光跃迁的密度。ρred（hv）是受选择定则限制的。严格的k选择定则要求导带中每一能级只能与价带中具有同样电子自旋的一个能级相关。因此ρred（hv）具有折合态密度的意义，并表示为

式中，δN/2是两个自旋方向之一的电子态数的增量，这对导带与价带都是相同的；δEc和δEv分别为导带与价带中的能量增量，在此能量范围内有相同的态数以保证跃迁在相等k值下进行；ρc和ρv分别为由式（1.4-5）和式（1.4-6）表示的电子和空穴的态密度。以后将看到，即使实际上不可能存在严格的k选择定则，但这并不影响目前的讨论。

（4）决定跃迁速率的第四个因素是跃迁几率系数，这已在1.2节中讨论。它们包括受激吸收跃迁几率B12、受激发射跃迁几率B21和自发发射跃迁几率A21。对于严格的k选择定则，这些系数描述了在光子能量hv下所有可能发生的跃迁，因此这些系数的确定需和前面所讨论的那样，从跃迁初态到终态对分布态函数进行积分。然而，不论所涉及的k选择定则严格与否，均不影响下面将讨论它们之间的关系——爱因斯坦关系，它反映了热平衡下量子跃迁系统的普遍规律。

基于上面这些讨论，就很容易写出三种跃迁情况的跃迁速率并确定它们之间的相互关系。因所考虑的跃迁量子系统处在热平衡下，则导带与价带的准费米能级应相等，即Fc=Fv。因此描述电子占据几率的函数fc和fv就可使用统一的费米能级。若激励该系统的光子能量具有连续谱，则所求的跃迁速率是单位体积、单位能量间隔的速率。对于电子从价带向导带的受激吸收，其跃迁速率为

r12=B12fv（1-fc）ρred（hv）P（hv） （1.5-2）

而电子从导带向价带的受激发射跃迁速率为

r21=B21fc（1-fv）ρred（hv）P（hv） （1.5-3）

上述受激吸收几率系数B12与受激发射几率系数B21有相同的量纲[能量×体积／时间]，而单位体积、单位能量间隔的自发发射速率为

rsp=A21fc（1-fv）ρred （1.5-4）

式中，A21为自发发射跃迁几率系数，它的量纲为[1/时间]。

在热平衡情况下，向上跃迁的速率必须等于向下跃迁的总速率，即

r12=r21+rsp（1.5-5）

将式（1.5-2）、式（1.5-3）和式（1.5-4）代入式（1.5-5）中，并考虑到热平衡下有Fc=Fv所描述的统一费米分布函数，则有

由式（1.3-15），并令其色散项，再与式（1.5-6）比较后得到：

其中已考虑到在频率为v的光子作用下电子产生共振跃迁hv=Ec-Ev的情况，由式（1.5-7）显然有

式（1.5-8）和式（1.5-9）称为爱因斯坦关系，它和对二能级系统做类似分析所得的结果是一致的。它们表示了热平衡条件下，自发发射、受激吸收与受激发射三种跃迁几率之间的关系。

因为玻色-爱因斯坦分布函数本身表示每个态（模）中的平均光子数，所以如果激励跃迁系统的是单色光，则跃迁速率只是单位体积而不是上面所说的单位体积、单位能量间隔的跃迁速率。此时单位体积的光子数为

将式（1.5-10）代替式（1.5-7）的左边后，同样可以得到B12=B21，只是自发发射跃迁几率系数变为

现在可以将V视为有源光学谐振腔的体积。除了上述联系三种跃迁速率的爱因斯坦关系外，还可以进一步分析这几种跃迁速率之间的关系，并从这些分析中得出一些对光电子学器件的工作原理和特性有重要意义的结论。

1.5.1 净的受激发射速率和半导体激光器粒子数反转条件

如果被光子激励的半导体能带系统处在平衡态下，并且忽略导带电子自发辐射复合的影响时，则受激发射速率与受激吸收速率是相等的，即有r21=r12。但在有电子注入等非平衡条件下，就有可能使r21＞r12，并令r净为受激发射与受激吸收速率之差，即净的受激发射速率为

r净=r21-r12 （1.5-12）

将式（1.5-2）和式（1.5-3）代入式（1.5-12）后得到

r净=B21ρred（hv）（fc-fv）P（hv）（1.5-13）

其中考虑了爱因斯坦关系B12=B21，因为在净的受激发射下，必定有r净＞0，即式（1.5-13）中必须满足：

fc＞fv （1.5-14）

将式（1.4-7）和式（1.4-8）代入式（1.5-14），并考虑到Ev=Ec-hv（Ec和Ev分别为导带和价带电子态能量，hv为光子能量），则有

或更简单地表示为

Fc-Fv＞hv （1.5-16）

对于带间跃迁的受激发射，需满足hv≥Eg，故式（1.5-16）还可写为

ΔF≥Eg （1.5-17）

式（1.5-14）及其演变式（1.5-16）和式（1.5-17）都可认为是在半导体中产生受激发射的必要条件，也可称为半导体激光器的所谓粒子数反转条件，这是由伯纳德（Bernard）和杜拉福格（Duraffourg）于1961年首先提出的，故也称伯纳德-杜拉福格条件，它是次年出现的半导体激光器得以成功的理论基础。式（1.5-16）表明，要在半导体中产生受激发射或形成粒子数反转，就应使其能带系统处于非平衡状态，并使导带与价带的准费米能级之差大于作用在该系统的光子能量。图1.5-1形象地描述了这一条件。由式（1.5-17）可以看到，如所讨论的半导体材料有确定的禁带宽度gE，则在受激发射发生以前，导带与价带的准费米能级之差（Fc-Fv）必须大于gE，即Fc或Fv要进入导带或价带，这在早期的半导体激光器中是通过重掺杂或高注入来满足这一条件的。

式（1.5-13）是从严格的k选择定则来考虑的，即电子在导带与价带某一对选定态之间跃迁而发射（或吸收）由它们之间能量差所确定的光子，这种严格的k选择定则必然限制着参与跃迁的态数。实际上，由图1.5-1也看到，能发射同样能量光子的跃迁初态与终态都存在一个可能的范围。因此，我们只需限定跃迁初态或终态的能量Ec或Ev和光子能量hv来重新考虑跃迁几率。例如，对给定的体积V、导带能量Ec和光子能量hv的情况下，可以写出导带内单位能量范围的跃迁几率为B21（Ec，hv）ρc（Ec）V。因为B21本身包含V-1，故实际上所表示的单位能量的跃迁概率与体积无关。现在，我们就可和前面一样，只需将已经考虑了一个能量范围内的跃迁几率B21（Ec，hv）ρc（Ec）V代替式（1.5-2）和式（1.5-3）中的B12和B21，再对整个Ec积分，就可得出相应向上和向下总的跃迁速率，两者之差即为净的总跃迁速率，表示为

式中ρc（Ec）表示ρc为Ec的函数、ρv（Ec-hv）表示ρv为Ev（=Ec-hv）的函数。式（1.5-18）可简单表示为

r净（hv）=P（hv）W净（hv） （1.5-19）

式中，W净（hv）代表式（1.5-18）中的积分值。对于上述存在一个参与跃迁能量范围的情况下，同样可用价带能量Ev来表示单位能量间隔的跃迁几率，即B12（Ev，hv）ρv（Ev）V。此时ρc以Ec=Ev+hv为函数。故还可将系统净的受激发射跃迁速率写为对Ev积分的表示式：

显然，可以从式（1.5-19）和式（1.5-20）得到和前面同样的受激发射条件，即fc＞fv。

1.5.2 自发发射与受激发射速率之间的关系

自发发射与受激发射有密切的关系。从某种意义上讲，受激发射是放大的自发发射。在激光器中，引起受激发射的光子往往来源于自发发射。以后还要谈到，就在每个激光模式中也包含着一定的自发发射分量，而且模式中自发发射与受激发射比率的大小将直接影响激光器的性能。

考虑到电子在能带之间跃迁有一定的能量范围这一特点，运用和前面求净受激发射速率式（1.5-18）和式（1.5-20）同样的方法，可以写出总的自发发射速率为

其中已经利用了式（1.5-9）。Wsp（hv）代表式（1.5-21）中的积分值。因此要知道r净（hv）与rsp（hv）之间的关系，只需分析W净（hv）与Wsp（hv）之间的关系。为此，在W净（hv）中插入因子（fc-fv）fc（1-fv），可以证明这一因子即为W净（hv）与Wsp（hv）的比值且与能量无关，其值为{1-exp（[hv-（Fc-Fv）]/kBT）}，这样就可得到

因Wsp（hv）总为正值，因此要想得到净的受激发射，需W净（hv）大于零，即要求Fc-Fv≥hv。故式（1.5-22）是从另一个方面再一次证明了伯纳德-杜拉福格粒子数反转条件。由式（1.5-22）还可看出，当hv≤（Fc-Fv）时，就有W净（hv）≈Wsp（hv），这就意味着，在掺杂浓度很高或泵浦速率很高的情况下，任何波长下的受激发射与自发发射相等。即一个自发发射光子诱发出一个受激发射的光子，这与通常用以解释两能级系统激光器工作原理的情况相同。

对净的受激发射与自发发射速率之间的关系，还可将式（1.5-4）与式（1.5-13）做比较，也可得出与上述相同的结论。

1.5.3 净受激发射速率与增益系数的关系

由式（1.5-13）和式（1.5-18）可知，当满足粒子数反转条件时，净的受激发射速率有正值，则光波通过处在这种状态的介质时将得到增益或放大。粒子数反转程度越大，它所得到的增益也越大。显然，粒子数反转如变为负值（对应于fc＜fv的情况），增益也就变为负值，此时经过这种介质所传播的光波将经受吸收损耗。这里只讨论净受激发射速率与增益系数的关系，有关激光器的增益特性以后将详细讨论。

通常将光波通过粒子数反转区获得的增益表示为

F（z）=Foexp（gz） （1.5-23）

式中，z表示光的传播方向，F（z）表示某一点z处单位面积的光子通量，Fo为光波进入反转区z=0时单位面积的光子通量，g为单位长度的增益或增益系数。将式（1.5-23）微分就可看出g是单位面积所产生的附加光子通量与总光子通量之比，前者即为该体积内净的受激发射速率r净（hv），后者应该是由式（1.3-15）表示的光子密度与光波在介质中的传播速度之积，因此有

或写为

式中，Γ为场限制因子，它是考虑到部分光场扩展出粒子数反转区而造成的损失，相当于光子通量截面增加，净的受激发射速率变为Γr净（hv）。Γ的明确定义及其对半导体激光器的影响以后将会陆续涉及到。在半导体材料中，遵守带间跃迁k选择定则的增益系数可以结合式（1.2-28）和式（1.5-13）依上述同样讨论给出：

如果考虑光场扩展，在式（1.5-26）的分子中同样应该引入Γ因子。以上式（1.5-24）或式（1.5-26）都说明一个重要的物理概念，即一旦在半导体材料中形成了粒子数反转，该材料才有正的增益系数。因此增益系数并不是半导体材料的固有属性。只有通过外部电子注入满足粒子数反转条件，它才对材料内部产生的光子或外部入射的光子具有增益或放大的能力。

1.5.4 净的受激吸收速率与吸收系数

和净的受激发射速率相反，净的吸收速率就是电子在能带系统中受激吸收速率r12与受激发射速率r21之差（r12＞r21）。很容易理解，它就是净受激发射速率的负值[-r净（hv）]，这对应着激光器泵浦速率低或激励水平在激光阈值以下的情况，此时式（1.5-22）中的（Fc-Fv）很小，从而W净（hv）变为负值，按照前面对增益系数完全类似的推导，可以把吸收系数α（hv）写为

式中，仍为介质中的光速。利用自发发射速率rsp（hv）与Wsp（hv）的关系式（1.5-21），并将其代入式（1.5-22）中，同时考虑到（Fc-Fv）很小时可忽略式（1.5-22）方括号中的1，从而给出自发发射谱与吸收谱之间的关系：

式中，Z（hv）代表单位能量间隔内的态密度，为简单起见，不考虑实际存在的色散，则可将其表示为

式（1.5-28）在泵浦水平未使带间实现粒子数反转以前总是能成立的。因此，可以利用半导体吸收谱的曲线来获得自发发射谱。图1.5-2就是利用这种关系对室温下GaAs所测得的吸收谱（见图1.5-2（a））和计算所得到的自发发射谱（见图1.5-2（b）），所测样品GaAs的空穴浓度为1.2×1018/cm3。

半导体中的光吸收是一个很复杂的问题，以上所讨论的只是半导体增益介质中有关光吸收的问题，这在半导体激光器中将是一种损耗。除了上述带间吸收外，还有多种机构引起光吸收，诸如自由电子吸收，杂质或缺陷吸收，激子吸收等。除了直接带隙外，间接带隙跃迁也引起光吸收。除内部因素外，温度、压力等外部因素也对光吸收产生影响。有关半导体光吸收机理的分析，将在第9章做进一步讨论。